Calculadora de Matrizes

Como usar

• Escolha o número de linhas e colunas (de 1 a 5) das matrizes A e B e digite os elementos.
• A + B, A − B e A × B usam as duas matrizes; kA, Aᵀ, det(A), A⁻¹, rank(A) e Aⁿ trabalham com uma só. B tem os mesmos botões, e a operação escolhida é recalculada sempre que você muda um valor.
• O escalar k é usado em kA e kB, e o expoente inteiro n em Aⁿ e Bⁿ.
• “Usar o resultado como A” copia o resultado para A para você continuar calculando, e “Trocar A e B” troca as duas matrizes.

Multiplicação de matrizes e operações básicas

Abaixo, [a b; c d] é a matriz 2×2 com primeira linha a, b e segunda linha c, d. A multiplicação de matrizes segue a regra linha por coluna: o elemento (i, j) de A × B é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B, elemento a elemento.

• Regra dos tamanhos: uma matriz m×n vezes uma n×p dá uma matriz m×p. O número de colunas da primeira precisa ser igual ao número de linhas da segunda.
• Exemplo: [1 2 3; 4 5 6] (2×3) × [7 8; 9 10; 11 12] (3×2) = [1·7+2·9+3·11 1·8+2·10+3·12; 4·7+5·9+6·11 4·8+5·10+6·12] = [58 64; 139 154] (2×2)
• Soma e subtração são feitas elemento a elemento, então as duas matrizes precisam ter o mesmo tamanho. kA multiplica cada elemento por k, e a transposta Aᵀ troca linhas por colunas, transformando uma matriz 2×3 em 3×2.
• A ordem importa: A × B e B × A costumam ser diferentes e, dependendo dos tamanhos, B × A pode nem existir.

Determinante, inversa e posto por eliminação de Gauss

Para uma matriz 2×2, det [a b; c d] = ad − bc e, quando ad − bc ≠ 0, a inversa é [a b; c d]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d −b; −c a].

Matrizes maiores são resolvidas por eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Em cada coluna, o elemento de maior valor absoluto vira o pivô (trocando linhas se for preciso), e múltiplos da linha do pivô são subtraídos das linhas de baixo para gerar zeros. O determinante é o produto dos pivôs, com o sinal trocado a cada troca de linhas.

Exemplo: eliminando [2 1 1; 4 3 3; 8 7 9] à mão sem trocas, L2 − 2L1 = [0 1 1], L3 − 4L1 = [0 3 5] e L3 − 3L2 = [0 0 2], então det = 2 × 1 × 2 = 4. A calculadora troca linhas para usar 8 como primeiro pivô, mas o determinante é o mesmo.

A inversa vem da mesma eliminação aplicada a [A | I] até o lado esquerdo virar a matriz identidade I; o lado direito é então A⁻¹ (eliminação de Gauss-Jordan). O posto é o número de pivôs que sobram após a eliminação, ou seja, o número de linhas linearmente independentes. Um pivô menor que 10⁻¹² vezes o maior elemento conta como 0.

Exemplo resolvido passo a passo

Com as matrizes que aparecem ao abrir a página, A = [4 7; 2 6] e B = [1 2; 3 4]:

• A × B = [4·1+7·3 4·2+7·4; 2·1+6·3 2·2+6·4] = [25 36; 20 28]
• det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10
• Inversa pela fórmula: A⁻¹ = 1/10 × [6 −7; −2 4] = [0,6 −0,7; −0,2 0,4]
• Conferindo por eliminação: a partir de [4 7 | 1 0; 2 6 | 0 1], L2 − 0,5L1 → [0 2,5 | −0,5 1], L2 ÷ 2,5 → [0 1 | −0,2 0,4], L1 − 7L2 → [4 0 | 2,4 −2,8], L1 ÷ 4 → [1 0 | 0,6 −0,7]
• Verificação: A × A⁻¹ = [1 0; 0 1]. Para potências, A² = A × A = [30 70; 20 50], A⁰ = I e A⁻² = (A⁻¹)² = [0,5 −0,7; −0,2 0,3].

Bom saber

• Determinante, inversa e potências exigem uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Transposta, produto por escalar e posto funcionam com qualquer tamanho.
• Uma matriz com determinante 0 é singular: não tem inversa, e potências negativas como A⁻¹ ou A⁻² também não podem ser calculadas. Exemplo: [1 2; 2 4] tem det = 1 × 4 − 2 × 2 = 0 e posto 1.
• Células vazias contam como 0, e um aviso aparece abaixo do resultado quando isso acontece. Um valor esquecido muda a resposta, então confira.
• Os resultados aparecem com 12 algarismos significativos e restos minúsculos de arredondamento viram 0, por isso A × A⁻¹ aparece como uma matriz identidade exata.