行列計算

使い方

• 行列AとBの行数と列数をそれぞれ1〜5から選び、各マスに数値を入力します。
• A + B、A − B、A × Bは2つの行列を、kA、Aᵀ、det(A)、A⁻¹、rank(A)、Aⁿは1つの行列を使います。Bにも同じボタンがあり、値を変えると選んだ演算の結果がすぐに再計算されます。
• スカラーkはkA・kBに、整数の指数nはAⁿ・Bⁿに使います。
• 「結果をAに代入」で結果の行列をAに入れて計算を続けられます。「AとBを入れ替え」で2つの行列を交換します。

行列の積と基本の演算

以下の[a b; c d]は、1行目がa, b、2行目がc, dの2×2行列を表します。行列の積は「行 × 列」のルールで計算します。A × Bの(i, j)成分は、Aのi行目とBのj列目の成分を順に掛けて足した値です。

• サイズのルール：m×n行列とn×p行列の積はm×p行列になります。前の行列の列数と後ろの行列の行数が等しくなければなりません。
• 例：[1 2 3; 4 5 6]（2×3）× [7 8; 9 10; 11 12]（3×2）= [1·7+2·9+3·11 1·8+2·10+3·12; 4·7+5·9+6·11 4·8+5·10+6·12] = [58 64; 139 154]（2×2）
• 和と差は同じ位置の成分どうしで計算するので、2つの行列は同じサイズである必要があります。kAはすべての成分をk倍し、転置行列Aᵀは行と列を入れ替えるため、2×3行列は3×2行列になります。
• 積は順序が大切です。A × BとB × Aはふつう異なり、サイズによってはB × Aを計算できないこともあります。

行列式・逆行列・階数とガウスの消去法

2×2行列ではdet [a b; c d] = ad − bcで、ad − bc ≠ 0なら逆行列は[a b; c d]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d −b; −c a]です。

それより大きな行列は、部分ピボット選択付きのガウスの消去法で計算します。列ごとに絶対値が最大の成分をピボットに選び（必要なら行を入れ替え）、その下の行からピボット行の定数倍を引いて0にします。行列式はピボットをすべて掛けた値で、行を1回入れ替えるごとに符号が変わります。

例：[2 1 1; 4 3 3; 8 7 9]を行の入れ替えなしで手計算すると、R2 − 2R1 = [0 1 1]、R3 − 4R1 = [0 3 5]、R3 − 3R2 = [0 0 2]となり、det = 2 × 1 × 2 = 4です。計算機は8を最初のピボットにするため行を入れ替えますが、行列式は同じです。

逆行列は[A | I]に同じ消去を行い、左側が単位行列Iになったときの右側をA⁻¹とする方法（ガウス・ジョルダンの消去法）で求めます。階数（ランク）は消去後に残ったピボットの数、つまり一次独立な行の数です。行列の成分の最大絶対値の10⁻¹²倍より小さいピボットは0とみなします。

計算例（ステップごと）

ページを開いたときに入っているA = [4 7; 2 6]、B = [1 2; 3 4]で計算してみます。

• A × B = [4·1+7·3 4·2+7·4; 2·1+6·3 2·2+6·4] = [25 36; 20 28]
• det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10
• 公式による逆行列：A⁻¹ = 1/10 × [6 −7; −2 4] = [0.6 −0.7; −0.2 0.4]
• 消去法で確認：[4 7 | 1 0; 2 6 | 0 1]からR2 − 0.5R1 → [0 2.5 | −0.5 1]、R2 ÷ 2.5 → [0 1 | −0.2 0.4]、R1 − 7R2 → [4 0 | 2.4 −2.8]、R1 ÷ 4 → [1 0 | 0.6 −0.7]
• 検算：A × A⁻¹ = [1 0; 0 1]です。累乗はA² = A × A = [30 70; 20 50]、A⁰ = I、A⁻² = (A⁻¹)² = [0.5 −0.7; −0.2 0.3]です。

知っておきたいポイント

• 行列式・逆行列・累乗は、行数と列数が等しい正方行列でしか計算できません。転置・スカラー倍・階数はどのサイズでも計算できます。
• 行列式が0の正則でない行列（特異行列）には逆行列がなく、A⁻¹やA⁻²のような負の累乗も計算できません。例：[1 2; 2 4]はdet = 1 × 4 − 2 × 2 = 0で、階数は1です。
• 空欄は0として計算し、そのときは結果の下に注意書きが出ます。入力漏れは結果を変えるので確認してください。
• 結果は有効数字12桁まで表示し、丸めで生じたごく小さな値は0にそろえます。そのためA × A⁻¹はきっちり単位行列として表示されます。