Calculadora de matrices

Cómo se usa

• Elige el número de filas y columnas (de 1 a 5) de las matrices A y B y escribe los elementos.
• A + B, A − B y A × B usan las dos matrices; kA, Aᵀ, det(A), A⁻¹, rank(A) y Aⁿ trabajan con una sola. B tiene los mismos botones, y la operación elegida se recalcula cada vez que cambias un valor.
• El escalar k se usa en kA y kB, y el exponente entero n en Aⁿ y Bⁿ.
• «Usar el resultado como A» copia el resultado en A para seguir calculando, e «Intercambiar A y B» intercambia las dos matrices.

Multiplicación de matrices y operaciones básicas

Abajo, [a b; c d] es la matriz 2×2 cuya primera fila es a, b y cuya segunda fila es c, d. La multiplicación de matrices sigue la regla fila por columna: el elemento (i, j) de A × B es la suma de los productos de la fila i de A por la columna j de B, elemento a elemento.

• Regla de tamaños: una matriz m×n por una n×p da una matriz m×p. El número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.
• Ejemplo: [1 2 3; 4 5 6] (2×3) × [7 8; 9 10; 11 12] (3×2) = [1·7+2·9+3·11 1·8+2·10+3·12; 4·7+5·9+6·11 4·8+5·10+6·12] = [58 64; 139 154] (2×2)
• La suma y la resta se hacen elemento a elemento, así que ambas matrices deben tener el mismo tamaño. kA multiplica cada elemento por k, y la traspuesta Aᵀ intercambia filas y columnas: una matriz 2×3 pasa a ser 3×2.
• El orden importa: A × B y B × A suelen ser distintas y, según los tamaños, B × A puede ni siquiera existir.

Determinante, inversa y rango por eliminación gaussiana

Para una matriz 2×2, det [a b; c d] = ad − bc, y si ad − bc ≠ 0 la inversa es [a b; c d]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d −b; −c a].

Las matrices más grandes se resuelven con eliminación gaussiana con pivoteo parcial. En cada columna, el elemento de mayor valor absoluto pasa a ser el pivote (intercambiando filas si hace falta), y se restan múltiplos de la fila del pivote a las filas de abajo para obtener ceros. El determinante es el producto de los pivotes, con un cambio de signo por cada intercambio de filas.

Ejemplo: al eliminar [2 1 1; 4 3 3; 8 7 9] a mano sin intercambios, F2 − 2F1 = [0 1 1], F3 − 4F1 = [0 3 5] y F3 − 3F2 = [0 0 2], así que det = 2 × 1 × 2 = 4. La calculadora intercambia filas para usar 8 como primer pivote, pero el determinante es el mismo.

La inversa se obtiene aplicando la misma eliminación a [A | I] hasta que el lado izquierdo es la matriz identidad I; el lado derecho es entonces A⁻¹ (eliminación de Gauss-Jordan). El rango es el número de pivotes que quedan tras la eliminación, es decir, el número de filas linealmente independientes. Un pivote menor que 10⁻¹² veces el mayor elemento cuenta como 0.

Ejemplo resuelto paso a paso

Con las matrices con las que se abre la página, A = [4 7; 2 6] y B = [1 2; 3 4]:

• A × B = [4·1+7·3 4·2+7·4; 2·1+6·3 2·2+6·4] = [25 36; 20 28]
• det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10
• Inversa con la fórmula: A⁻¹ = 1/10 × [6 −7; −2 4] = [0,6 −0,7; −0,2 0,4]
• Comprobación por eliminación: desde [4 7 | 1 0; 2 6 | 0 1], F2 − 0,5F1 → [0 2,5 | −0,5 1], F2 ÷ 2,5 → [0 1 | −0,2 0,4], F1 − 7F2 → [4 0 | 2,4 −2,8], F1 ÷ 4 → [1 0 | 0,6 −0,7]
• Verificación: A × A⁻¹ = [1 0; 0 1]. En cuanto a potencias, A² = A × A = [30 70; 20 50], A⁰ = I y A⁻² = (A⁻¹)² = [0,5 −0,7; −0,2 0,3].

Conviene saber

• El determinante, la inversa y las potencias requieren una matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas). La traspuesta, el producto por un escalar y el rango funcionan con cualquier tamaño.
• Una matriz con determinante 0 es singular: no tiene inversa, y tampoco se pueden calcular potencias negativas como A⁻¹ o A⁻². Ejemplo: [1 2; 2 4] tiene det = 1 × 4 − 2 × 2 = 0 y rango 1.
• Las casillas vacías cuentan como 0, y en ese caso aparece un aviso bajo el resultado. Un valor olvidado cambia la respuesta, así que revísalo.
• Los resultados se muestran con 12 cifras significativas y los restos diminutos de redondeo se ponen a 0, por lo que A × A⁻¹ aparece como una matriz identidad exacta.