Como usar
- Digite Z₁ e Z₂ na forma algébrica a+bi, por exemplo 3+4i, −2,5i, 5 ou 3−4j. A unidade imaginária pode ser i ou j, maiúscula ou minúscula.
- Também dá para digitar a forma polar r∠θ, como 5∠53,13. O ângulo é lido na unidade escolhida; se você colocar ° ou rad depois dele, vale essa unidade (2∠30° ou 2∠0,5rad).
- Escolha a operação. O campo Z₂ só aparece em +, −, × e ÷, e o expoente n só em Z₁ⁿ. Conjugado, raiz quadrada, inverso, e^Z₁ e ln Z₁ usam só Z₁.
- O resultado muda enquanto você digita: primeiro a forma algébrica a+bi e depois a forma polar r∠θ, a exponencial r·e^(iθ), o módulo e o argumento, com até 12 algarismos significativos.
- A unidade de ângulo (graus por padrão, ou radianos) vale para o argumento, para as formas polar e exponencial mostradas e para os ângulos digitados.
Fórmulas: forma algébrica, forma polar e fórmula de De Moivre
- Adição e subtração, parte por parte: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
- Multiplicação: aplique a distributiva e use i² = −1, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Divisão: multiplique numerador e denominador pelo conjugado c − di, (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)
- Módulo |z| = r = √(a² + b²) e argumento θ = atan2(b, a), no intervalo −180° < θ ≤ 180°
- Forma trigonométrica e exponencial (fórmula de Euler): z = r(cos θ + i sen θ) = r·e^(iθ)
- Fórmula de De Moivre: zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ). Além disso, ln z = ln|z| + i·arg z e e^(a + bi) = e^a(cos b + i sen b).
Exemplo passo a passo 1: multiplicação e divisão de números complexos
Vamos usar os valores que já vêm na calculadora: Z₁ = 3 + 4i e Z₂ = 1 − 2i.
- Aplique a distributiva: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i²
- Como i² = −1, fica 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Na forma polar, isso é √125∠−10,3048464688° ≈ 11,1803398875∠−10,30°.
- Para dividir, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do divisor, 1 + 2i. O numerador vira (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i e o denominador (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5.
- Então (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i.
- Adição e subtração são mais simples: (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i e (3 + 4i) − (1 − 2i) = 2 + 6i.
Exemplo passo a passo 2: forma polar e fórmula de De Moivre
- Módulo de 3 + 4i: r = √(3² + 4²) = √25 = 5
- Argumento: θ = atan2(4, 3) ≈ 53,1301023542° (0,927295218002 rad), então 3 + 4i = 5∠53,13° = 5·e^(i·53,13°).
- No sentido inverso, 2∠30° = 2(cos 30° + i sen 30°) = √3 + i ≈ 1,73205080757 + i.
- De Moivre: 1 + i = √2∠45°, então (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠(8 × 45°) = 16∠360° = 16.
- Do mesmo jeito, (2∠30°)³ = 2³∠90° = 8i; e nas raízes quadradas, √(3 + 4i) = 2 + i e √(−4) = 2i.
Erros comuns e dicas
- Confira a unidade de ângulo. Em radianos, 2∠30 quer dizer 30 radianos, não 30°. Na dúvida, digite a unidade: 2∠30°.
- O argumento não é simplesmente arctan(b/a). Para −3 − 4i, arctan(4/3) dá 53,13°, mas o ponto está no terceiro quadrante, então arg = atan2(−4, −3) ≈ −126,869897646°.
- Ângulo arredondado gera resultado aproximado: 5∠53,13 vira 3,00000714566 + 3,99999464074i, e não exatamente 3 + 4i. Múltiplos de 90° são convertidos de forma exata (2∠90 = 2i).
- Cada parte só pode aparecer uma vez: 3+4i, 4i+3, 3+j4 e 2*i funcionam, mas 3+4i+2 não.
- Não dá para digitar π nem frações; use decimais como 3,14159265359 ou 0,5. Restos mínimos de arredondamento são eliminados, por isso e^(3,14159265359i) mostra −1.
- Potências inteiras até ±1024 são calculadas de forma exata por multiplicações sucessivas, por exemplo (3 + 4i)² = −7 + 24i.
Perguntas frequentes
Como passar um número complexo para a forma polar?
Digite o número em Z₁ e escolha “Converter Z₁”: aparecem r∠θ, a forma exponencial, o módulo e o argumento. Por exemplo, 3 + 4i tem r = √(3² + 4²) = 5 e θ ≈ 53,13°, então é igual a 5∠53,13°.
Como passar da forma polar para a forma algébrica a+bi?
Digite o número como r∠θ, por exemplo 2∠30, e escolha “Converter Z₁”; o resultado principal aparece como a+bi. Como a = r cos θ e b = r sen θ, 2∠30° = √3 + i ≈ 1,73205080757 + i.
Como calcular a potência de um número complexo pela fórmula de De Moivre?
Escolha “Z₁ⁿ (potência)” e digite o expoente n. Pela fórmula de De Moivre, zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ), então (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠360° = 16; expoentes inteiros são exatos, e não inteiros, como 0,5, dão o valor principal.
Posso usar j em vez de i?
Sim, 3−4j e 3−4i são calculados como o mesmo número. Na engenharia elétrica a unidade imaginária costuma ser escrita como j para não confundir com o i da corrente elétrica.
Por que o argumento de −3 − 4i é −126,87° e não 53,13°?
Porque o argumento é calculado com atan2(b, a), que leva em conta o quadrante. −3 − 4i está no terceiro quadrante, então o argumento é cerca de −126,869897646°, e a calculadora sempre mostra argumentos maiores que −180° e no máximo 180°.
Qual valor aparece em raízes, logaritmos e potências fracionárias?
O valor principal, cujo argumento é maior que −180° e no máximo 180°. Por exemplo, √(−4) = 2i (a outra raiz é −2i) e ln(−1) = πi ≈ 3,14159265359i.
Por que dá erro ao dividir por zero ou calcular ln 0?
Porque a divisão por 0 + 0i e o logaritmo de 0 não são definidos. Nenhuma potência de e é igual a 0, então ln 0 não existe, e o 0 não tem direção, por isso o argumento dele também não é definido.