Como usar
- Escolha no alto 2º grau, 3º grau, Sistema (x, y) ou Sistema (x, y, z).
- Passe todos os termos para um lado, deixando a equação igual a 0, e digite os coeficientes na ordem. Para x² − 5x + 6 = 0, digite a = 1, b = −5 e c = 6.
- Num sistema, digite em cada equação os coeficientes de x, y (e z) e o termo independente do lado direito. Para 2x + y = 5, digite 2 em x, 1 em y e 5 no lado direito.
- A solução aparece enquanto você digita, junto com a equação montada com os seus coeficientes, para você achar na hora qualquer erro de digitação.
- Na equação do 2º grau aparecem também o tipo de raízes, o delta e o vértice; na do 3º grau, o tipo de raízes e o discriminante.
Fórmula de Bhaskara e delta
As raízes de ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0) saem da fórmula de Bhaskara x = (−b ± √Δ) / 2a. O número dentro da raiz, Δ = b² − 4ac, é o discriminante (delta), e o sinal dele mostra que tipo de raízes a equação tem.
- Δ > 0: duas raízes reais distintas
- Δ = 0: uma raiz dupla, x = −b / 2a
- Δ < 0: nenhuma raiz real, mas duas raízes complexas conjugadas p ± qi
- Vértice (−b / 2a; c − b² / 4a): o ponto mais baixo da parábola y = ax² + bx + c quando a > 0, ou o mais alto quando a < 0.
- Se a = 0, a equação deixa de ser do 2º grau e é resolvida como a equação do 1º grau bx + c = 0, com x = −c / b.
Como são resolvidos o 3º grau e os sistemas
Em ax³ + bx² + cx + d = 0, primeiro se calcula o discriminante Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Se Δ > 0, há três raízes reais distintas; se Δ = 0, uma raiz dupla ou tripla; se Δ < 0, uma raiz real e duas complexas conjugadas. As raízes reais são obtidas pelo método trigonométrico ou pela fórmula de Cardano e depois refinadas pelo método de Newton.
Os sistemas lineares são resolvidos por escalonamento (eliminação de Gauss): subtrai-se das outras equações um múltiplo de uma delas para eliminar uma incógnita por vez e, no fim, os valores são encontrados por substituição de trás para a frente. Em cada passo, a equação com o coeficiente relativamente maior é usada como pivô (pivoteamento parcial), o que reduz os erros de arredondamento.
Se não houver solução única, o posto da matriz dos coeficientes é comparado com o da matriz ampliada. Postos diferentes indicam que as equações se contradizem e o sistema é impossível; postos iguais indicam um sistema possível e indeterminado, com infinitas soluções.
Exemplos resolvidos passo a passo
Exemplo 1: 2x² − 3x − 2 = 0. Aqui a = 2, b = −3 e c = −2, então Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Como √Δ = 5, x = (3 ± 5) / 4, ou seja, x₁ = −0,5 e x₂ = 2. O vértice fica em x = 3 / 4 = 0,75 e y = −2 − 9 / 8 = −3,125: (0,75; −3,125).
Exemplo 2: 3x + 2y = 12 e x − y = −1. Multiplique a segunda equação por 2 para obter 2x − 2y = −2 e some com a primeira: 5x = 10, então x = 2. Substituindo em x − y = −1, chega-se a y = 3.
- x² − 5x + 6 = 0: Δ = 1, x₁ = 2, x₂ = 3, vértice (2,5; −0,25)
- x² + 2x + 5 = 0: Δ = −16, x = −1 ± 2i
- x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: Δ = 4, x = 1, x = 2 e x = 3
- x³ − 3x + 2 = 0: Δ = 0, raiz dupla x = 1 e raiz simples x = −2
- x³ − 1 = 0: Δ = −27, raiz real x = 1 e raízes complexas x = −0,5 ± 0,866025403784i
- 2x + y = 5 e x − y = 1: x = 2, y = 1
- x + y + z = 6, 2y + 5z = −4 e 2x + 5y − z = 27: x = 5, y = 3, z = −2
Erros comuns e dicas
- Digite os coeficientes negativos com o sinal: em x² − 5x + 6 = 0, b é −5, e não 5.
- Coloque 0 no termo que não aparece em vez de deixar o campo vazio: x² − 9 = 0 fica a = 1, b = 0, c = −9, e x³ − 1 = 0 fica a = 1, b = 0, c = 0, d = −1.
- Passe antes todos os termos para um lado: x² = 3x + 4 vira x² − 3x − 4 = 0, ou seja, a = 1, b = −3 e c = −4.
- Frações e notação científica como 1e3 não são aceitas. Converta as frações em decimal ou multiplique a equação inteira pelos denominadores: x²/2 + x/3 − 1 = 0 vezes 6 dá 3x² + 2x − 6 = 0, que tem as mesmas raízes.
- Vírgula e ponto funcionam como separador decimal. Os resultados são arredondados para 12 algarismos significativos, então uma raiz irracional como √2 aparece como 1,41421356237.
- Duas raízes que diferem em cerca de 10⁻⁶ ou menos podem aparecer juntas como uma única raiz dupla, porque diferenças mínimas de arredondamento são tratadas como zero.
Perguntas frequentes
O que acontece se o coeficiente a for 0?
A equação é resolvida com um grau a menos. Uma equação do 2º grau com a = 0 vira bx + c = 0, e uma do 3º grau com a = 0 é resolvida como do 2º grau. Se a e b forem 0, não há solução quando c ≠ 0, e todo número é solução quando c = 0.
Se o delta for negativo, a equação não tem solução?
Não tem raízes reais, mas tem duas raízes complexas conjugadas. Por exemplo, x² + 2x + 5 = 0 tem Δ = −16, então x = −1 ± 2i, em que i é a unidade imaginária, cujo quadrado é −1.
O que quer dizer “Não há solução única” em um sistema?
Que as equações não são independentes e não definem uma única solução. x + y = 2 e 2x + 2y = 4 são a mesma reta, com infinitas soluções, enquanto x + y = 2 e 2x + 2y = 5 são retas paralelas, sem solução. A calculadora também informa qual dos dois casos é.
Posso digitar frações ou números decimais?
Decimais sim, com vírgula ou ponto, mas frações não. Digite 1/2 como 0,5 ou multiplique a equação inteira pelo denominador para deixar todos os coeficientes inteiros.
Como saber quantas raízes reais a equação tem?
Pelo sinal do discriminante. A equação do 2º grau tem duas raízes reais se Δ > 0, uma raiz dupla se Δ = 0 e nenhuma se Δ < 0. A do 3º grau tem três raízes reais distintas se Δ > 0, só uma se Δ < 0 e uma raiz dupla ou tripla se Δ = 0.
Como calcular o vértice da parábola?
O vértice fica em (−b / 2a; c − b² / 4a) e é o ponto mais baixo de y = ax² + bx + c quando a > 0, ou o mais alto quando a < 0. Para x² − 5x + 6, ele é (2,5; −0,25), e a calculadora o mostra sempre que você resolve uma equação do 2º grau.
A calculadora resolve equações do 4º grau ou não lineares?
Não. Ela resolve apenas equações do 2º e do 3º grau e sistemas lineares com 2 ou 3 incógnitas; equações do 4º grau ou maiores e sistemas não lineares não são suportados.