Calcul matriciel

Mode d’emploi

• Choisissez le nombre de lignes et de colonnes (de 1 à 5) des matrices A et B, puis saisissez les coefficients.
• A + B, A − B et A × B utilisent les deux matrices ; kA, Aᵀ, det(A), A⁻¹, rank(A) et Aⁿ portent sur une seule. B dispose des mêmes boutons, et l’opération choisie est recalculée à chaque modification.
• Le scalaire k sert pour kA et kB, et l’exposant entier n pour Aⁿ et Bⁿ.
• « Utiliser le résultat comme A » recopie le résultat dans A pour enchaîner les calculs, et « Échanger A et B » intervertit les deux matrices.

Produit matriciel et opérations de base

Ci-dessous, [a b; c d] désigne la matrice 2×2 de première ligne a, b et de deuxième ligne c, d. Le produit matriciel suit la règle ligne par colonne : le coefficient (i, j) de A × B est la somme des produits terme à terme de la ligne i de A par la colonne j de B.

• Règle des tailles : une matrice m×n multipliée par une matrice n×p donne une matrice m×p. Le nombre de colonnes de la première doit être égal au nombre de lignes de la seconde.
• Exemple : [1 2 3; 4 5 6] (2×3) × [7 8; 9 10; 11 12] (3×2) = [1·7+2·9+3·11 1·8+2·10+3·12; 4·7+5·9+6·11 4·8+5·10+6·12] = [58 64; 139 154] (2×2)
• La somme et la différence se font coefficient par coefficient : les deux matrices doivent donc avoir la même taille. kA multiplie chaque coefficient par k, et la transposée Aᵀ échange lignes et colonnes, si bien qu’une matrice 2×3 devient 3×2.
• L’ordre compte : A × B et B × A sont en général différents et, selon les tailles, B × A peut même ne pas exister.

Déterminant, inverse et rang par le pivot de Gauss

Pour une matrice 2×2, det [a b; c d] = ad − bc et, si ad − bc ≠ 0, l’inverse vaut [a b; c d]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d −b; −c a].

Les matrices plus grandes sont traitées par la méthode du pivot de Gauss avec pivot partiel. Dans chaque colonne, le coefficient de plus grande valeur absolue devient le pivot (avec échange de lignes si besoin), puis on retranche aux lignes du dessous des multiples de la ligne du pivot pour faire apparaître des zéros. Le déterminant est le produit des pivots, son signe changeant à chaque échange de lignes.

Exemple : en éliminant [2 1 1; 4 3 3; 8 7 9] à la main sans échange, L2 − 2L1 = [0 1 1], L3 − 4L1 = [0 3 5] puis L3 − 3L2 = [0 0 2], donc det = 2 × 1 × 2 = 4. L’outil échange des lignes pour prendre 8 comme premier pivot, mais le déterminant est le même.

L’inverse s’obtient en appliquant la même élimination à [A | I] jusqu’à ce que la partie gauche devienne la matrice identité I ; la partie droite est alors A⁻¹ (méthode de Gauss-Jordan). Le rang est le nombre de pivots restant après l’élimination, c’est-à-dire le nombre de lignes linéairement indépendantes. Un pivot inférieur à 10⁻¹² fois le plus grand coefficient est considéré comme nul.

Exemple détaillé pas à pas

Avec les matrices affichées à l’ouverture de la page, A = [4 7; 2 6] et B = [1 2; 3 4] :

• A × B = [4·1+7·3 4·2+7·4; 2·1+6·3 2·2+6·4] = [25 36; 20 28]
• det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10
• Inverse par la formule : A⁻¹ = 1/10 × [6 −7; −2 4] = [0,6 −0,7; −0,2 0,4]
• Vérification par élimination : à partir de [4 7 | 1 0; 2 6 | 0 1], L2 − 0,5L1 → [0 2,5 | −0,5 1], L2 ÷ 2,5 → [0 1 | −0,2 0,4], L1 − 7L2 → [4 0 | 2,4 −2,8], L1 ÷ 4 → [1 0 | 0,6 −0,7]
• Contrôle : A × A⁻¹ = [1 0; 0 1]. Pour les puissances, A² = A × A = [30 70; 20 50], A⁰ = I et A⁻² = (A⁻¹)² = [0,5 −0,7; −0,2 0,3].

À savoir

• Le déterminant, l’inverse et les puissances exigent une matrice carrée (autant de lignes que de colonnes). La transposée, le produit par un scalaire et le rang fonctionnent pour toutes les tailles.
• Une matrice de déterminant nul est singulière : elle n’a pas d’inverse, et les puissances négatives comme A⁻¹ ou A⁻² sont impossibles. Exemple : [1 2; 2 4] a pour déterminant 1 × 4 − 2 × 2 = 0 et pour rang 1.
• Une case vide compte pour 0, et une note s’affiche alors sous le résultat. Une valeur oubliée change la réponse : vérifiez-la.
• Les résultats sont affichés avec 12 chiffres significatifs et les infimes restes d’arrondi sont ramenés à 0 : A × A⁻¹ apparaît donc comme une matrice identité exacte.