행렬 계산기

사용 방법

• 행렬 A와 B의 행과 열 수를 각각 1부터 5까지 고르고 각 칸에 숫자를 넣습니다.
• A + B, A − B, A × B 버튼은 두 행렬로, kA, Aᵀ, det(A), A⁻¹, rank(A), Aⁿ 버튼은 한 행렬로 계산합니다. B에도 같은 버튼이 있고, 값을 고치면 선택한 연산의 결과가 바로 다시 계산됩니다.
• 스칼라 k는 kA·kB에, 정수 지수 n은 Aⁿ·Bⁿ에 씁니다.
• '결과를 A로 사용'을 누르면 결과 행렬이 A에 들어가 계산을 이어갈 수 있고, 'A와 B 바꾸기'는 두 행렬을 맞바꿉니다.

행렬 곱셈과 기본 연산

아래에서 [a b; c d]는 첫 행이 a, b이고 둘째 행이 c, d인 2×2 행렬입니다. 행렬 곱셈은 ‘행 × 열’ 규칙을 따릅니다. A × B의 i행 j열 원소는 A의 i행과 B의 j열에서 같은 순서의 원소끼리 곱해 모두 더한 값입니다.

• 크기 규칙: m×n 행렬과 n×p 행렬을 곱하면 m×p 행렬이 됩니다. 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 합니다.
• 예: [1 2 3; 4 5 6](2×3) × [7 8; 9 10; 11 12](3×2) = [1·7+2·9+3·11 1·8+2·10+3·12; 4·7+5·9+6·11 4·8+5·10+6·12] = [58 64; 139 154](2×2)
• 덧셈·뺄셈은 같은 자리의 원소끼리 계산하므로 두 행렬의 크기가 같아야 합니다. kA는 모든 원소에 k를 곱하고, 전치행렬 Aᵀ는 행과 열을 바꾸므로 2×3 행렬이 3×2 행렬이 됩니다.
• 곱셈은 순서가 중요합니다. A × B와 B × A는 대개 다르고, 크기에 따라 B × A는 아예 계산할 수 없기도 합니다.

행렬식·역행렬·계수와 가우스 소거법

2×2 행렬은 det [a b; c d] = ad − bc이고, ad − bc ≠ 0이면 역행렬은 [a b; c d]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d −b; −c a]입니다.

더 큰 행렬은 부분 피벗을 쓰는 가우스 소거법으로 계산합니다. 열마다 절댓값이 가장 큰 원소를 피벗으로 고르고(필요하면 행을 바꿈), 그 아래 행에서 피벗 행의 배수를 빼 0을 만듭니다. 행렬식은 피벗을 모두 곱한 값이며, 행을 한 번 바꿀 때마다 부호가 바뀝니다.

예: [2 1 1; 4 3 3; 8 7 9]를 행 교환 없이 손으로 소거하면 R2 − 2R1 = [0 1 1], R3 − 4R1 = [0 3 5], R3 − 3R2 = [0 0 2]이므로 det = 2 × 1 × 2 = 4입니다. 계산기는 8을 첫 피벗으로 쓰려고 행을 바꾸지만 행렬식은 같습니다.

역행렬은 [A | I]에 같은 소거를 적용해 왼쪽이 단위행렬 I가 되면 오른쪽이 A⁻¹가 되는 방식(가우스–조르당 소거)으로 구합니다. 계수(rank)는 소거 후 남은 피벗의 개수, 곧 일차독립인 행의 수입니다. 행렬 원소 중 가장 큰 절댓값의 10⁻¹²배보다 작은 피벗은 0으로 봅니다.

단계별 계산 예

페이지를 처음 열 때 들어 있는 A = [4 7; 2 6], B = [1 2; 3 4]로 계산해 봅니다.

• A × B = [4·1+7·3 4·2+7·4; 2·1+6·3 2·2+6·4] = [25 36; 20 28]
• det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10
• 공식으로 구한 역행렬: A⁻¹ = 1/10 × [6 −7; −2 4] = [0.6 −0.7; −0.2 0.4]
• 소거법으로 확인: [4 7 | 1 0; 2 6 | 0 1]에서 R2 − 0.5R1 → [0 2.5 | −0.5 1], R2 ÷ 2.5 → [0 1 | −0.2 0.4], R1 − 7R2 → [4 0 | 2.4 −2.8], R1 ÷ 4 → [1 0 | 0.6 −0.7]
• 검산: A × A⁻¹ = [1 0; 0 1]입니다. 거듭제곱은 A² = A × A = [30 70; 20 50], A⁰ = I, A⁻² = (A⁻¹)² = [0.5 −0.7; −0.2 0.3]입니다.

알아 두면 좋은 점

• 행렬식·역행렬·거듭제곱은 행 수와 열 수가 같은 정사각행렬에서만 계산됩니다. 전치·스칼라 곱·계수는 어떤 크기에서도 됩니다.
• 행렬식이 0인 특이행렬은 역행렬이 없고, A⁻¹·A⁻² 같은 음수 거듭제곱도 계산할 수 없습니다. 예: [1 2; 2 4]는 det = 1 × 4 − 2 × 2 = 0이고 계수는 1입니다.
• 빈칸은 0으로 계산하고 결과 아래에 안내가 나옵니다. 값을 빠뜨리면 결과가 달라지니 확인하세요.
• 결과는 유효숫자 12자리까지 보여 주고, 반올림 때문에 생긴 아주 작은 값은 0으로 맞춥니다. 그래서 A × A⁻¹은 정확한 단위행렬로 보입니다.