حاسبة المصفوفات

طريقة الاستخدام

• اختر عدد الصفوف والأعمدة (من 1 إلى 5) للمصفوفتين A و B ثم أدخل العناصر.
• الأزرار A + B و A − B و A × B تستخدم المصفوفتين معًا، أما kA و Aᵀ و det(A) و A⁻¹ و rank(A) و Aⁿ فتعمل على مصفوفة واحدة. للمصفوفة B الأزرار نفسها، ويُعاد حساب العملية المختارة عند تغيير أي قيمة.
• يُستخدم العدد k في kA و kB، والأس الصحيح n في Aⁿ و Bⁿ.
• زر «استخدام الناتج بدلًا من A» ينسخ الناتج إلى A لمتابعة الحساب، وزر «تبديل A و B» يبادل المصفوفتين.

ضرب المصفوفات والعمليات الأساسية

فيما يلي، (a b; c d) هي المصفوفة 2×2 التي صفها الأول a و b وصفها الثاني c و d. يتبع ضرب المصفوفات قاعدة الصف في العمود: العنصر (i, j) في A × B هو مجموع حواصل ضرب عناصر الصف i من A في العناصر المقابلة من العمود j من B.

• قاعدة الأحجام: ضرب مصفوفة m×n في مصفوفة n×p يعطي مصفوفة m×p، ويجب أن يساوي عدد أعمدة الأولى عدد صفوف الثانية.
• مثال: (1 2 3; 4 5 6) من الحجم 2×3 مضروبة في (7 8; 9 10; 11 12) من الحجم 3×2 تساوي (1·7+2·9+3·11 1·8+2·10+3·12; 4·7+5·9+6·11 4·8+5·10+6·12) = (58 64; 139 154)، وهي من الحجم 2×2.
• الجمع والطرح يتمّان عنصرًا بعنصر، لذا يجب أن يكون للمصفوفتين الحجم نفسه. أما kA فتضرب كل عنصر في k، والمنقول Aᵀ يبدّل الصفوف بالأعمدة فتصبح المصفوفة 2×3 مصفوفة 3×2.
• الترتيب مهم: A × B و B × A مختلفان في الغالب، وقد لا يكون B × A معرّفًا أصلًا بحسب الأحجام.

المحدد والمعكوس والرتبة بطريقة حذف غاوس

للمصفوفة 2×2 يكون det(a b; c d) = ad − bc، وإذا كان ad − bc ≠ 0 فالمعكوس هو 1/(ad − bc) × (d −b; −c a).

تُحسب المصفوفات الأكبر بحذف غاوس مع الارتكاز الجزئي. في كل عمود يصبح العنصر ذو القيمة المطلقة الأكبر هو المحور (مع تبديل الصفوف عند الحاجة)، ثم تُطرح مضاعفات صف المحور من الصفوف التي تحته لتصبح أصفارًا. المحدد هو حاصل ضرب المحاور، وتنعكس إشارته مع كل تبديل للصفوف.

مثال: عند حذف (2 1 1; 4 3 3; 8 7 9) يدويًا دون تبديل نحصل على R2 − 2R1 = (0 1 1) و R3 − 4R1 = (0 3 5) ثم R3 − 3R2 = (0 0 2)، فيكون det = 2 × 1 × 2 = 4. تبدّل الحاسبة الصفوف لتجعل 8 أول محور، لكن المحدد يبقى نفسه.

يُحسب المعكوس بتطبيق الحذف نفسه على (A | I) حتى يصبح الجزء الأيسر مصفوفة الوحدة I، فيكون الجزء الأيمن هو A⁻¹ (حذف غاوس-جوردان). والرتبة هي عدد المحاور المتبقية بعد الحذف، أي عدد الصفوف المستقلة خطيًا. ويُعدّ المحور صفرًا إذا كان أصغر من 10⁻¹² من أكبر عنصر.

مثال محلول خطوة بخطوة

باستخدام المصفوفتين اللتين تظهران عند فتح الصفحة، A = (4 7; 2 6) و B = (1 2; 3 4):

• A × B = (4·1+7·3 4·2+7·4; 2·1+6·3 2·2+6·4) = (25 36; 20 28)
• det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 24 − 14 = 10
• المعكوس بالمعادلة: A⁻¹ = 1/10 × (6 −7; −2 4) = (0.6 −0.7; −0.2 0.4)
• التحقق بالحذف: نبدأ من (4 7 | 1 0; 2 6 | 0 1)، ثم R2 − 0.5R1 تعطي (0 2.5 | −0.5 1)، والقسمة على 2.5 تعطي (0 1 | −0.2 0.4)، ثم R1 − 7R2 تعطي (4 0 | 2.4 −2.8)، والقسمة على 4 تعطي (1 0 | 0.6 −0.7).
• التحقق: A × A⁻¹ = (1 0; 0 1). أما القوى فهي A² = A × A = (30 70; 20 50) و A⁰ = I و A⁻² = (A⁻¹)² = (0.5 −0.7; −0.2 0.3).

معلومات مفيدة

• المحدد والمعكوس والقوى تحتاج إلى مصفوفة مربعة (عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها)، أما المنقول والضرب في عدد والرتبة فتصلح لأي حجم.
• المصفوفة التي محددها 0 منفردة: ليس لها معكوس، ولا يمكن حساب قواها السالبة مثل A⁻¹ أو A⁻². مثلًا محدد (1 2; 2 4) هو 1 × 4 − 2 × 2 = 0 ورتبتها 1.
• الخانة الفارغة تُحسب 0، وتظهر ملاحظة أسفل الناتج عندئذ. القيمة المنسية تغيّر الجواب، فتأكد منها.
• تُعرض النتائج حتى 12 رقمًا معنويًا، وتُجعل بقايا التقريب الصغيرة جدًا صفرًا، لذا يظهر A × A⁻¹ مصفوفة وحدة تامة.