Como usar
- Digite f(x) usando x como variável, por exemplo x^2 + 3x - sin(x)/2. O resultado é atualizado enquanto você digita.
- Derivada: informe um ponto x₀ para ver o valor da função f(x₀), a primeira derivada f′(x₀) e a segunda derivada f″(x₀).
- Integral definida: informe o limite inferior a e o superior b. Valem números ou expressões constantes como pi/2, além de inf, -inf ou ∞ para um limite infinito.
- A integral vem com um erro estimado (±). Se a for maior que b, o sinal do resultado se inverte, e se a = b, o resultado é 0.
- Os resultados são aproximações numéricas com até 12 algarismos significativos. A calculadora não mostra fórmulas como a função derivada ou a primitiva.
Como a derivada é calculada
A derivada é a inclinação da reta tangente, definida por f′(x₀) = lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. O computador não consegue levar h até 0, então a calculadora usa a diferença central (f(x₀ + h) − f(x₀ − h))/(2h), que tira a média das inclinações dos dois lados e é bem mais precisa que uma diferença de um lado só.
A segunda derivada usa (f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h))/h². As duas fórmulas são calculadas com passos h cada vez menores e combinadas pela extrapolação de Richardson (método de Ridders), que cancela os principais termos de erro; fica a estimativa de menor erro. Os dígitos abaixo desse erro são descartados, então um ruído como 1e-14 aparece como 0.
Antes disso, as inclinações pela esquerda e pela direita são comparadas. Num ponto anguloso, como |x| em x = 0, ou onde a função só existe de um lado, como sqrt(x) em x = 0, a derivada aparece como “Não é possível calcular”.
Como a integral definida é calculada
A integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x, de a até b: a área acima do eixo conta como positiva e a de baixo, como negativa.
A calculadora usa a quadratura adaptativa de Gauss-Kronrod. Em cada subintervalo, ela calcula f(x) em 15 pontos escolhidos e compara uma regra de Gauss de 7 pontos com a regra de Kronrod de 15 pontos; a diferença serve como estimativa do erro. O subintervalo com maior erro é dividido ao meio até o erro total ficar em torno de 10⁻¹² vezes o resultado (ou do limite de arredondamento), com no máximo 1000 subintervalos.
Limites infinitos são tratados com uma mudança de variável, como x = a + t/(1 − t), que leva o intervalo infinito a um finito. Os extremos nunca são calculados, então uma função que explode só num extremo, como 1/√x de 0 a 1, também pode ser integrada.
Exemplo resolvido passo a passo
Estes são os exemplos que aparecem ao abrir a página, resolvidos à mão.
- Derivada de x³ em x₀ = 1, passo 1: com h = 0,1, a diferença central é (1,1³ − 0,9³)/0,2 = (1,331 − 0,729)/0,2 = 3,01.
- Passo 2: com h = 0,05, fica (1,157625 − 0,857375)/0,1 = 3,0025. Como o erro diminui como h², combinar os dois valores como (4 × 3,0025 − 3,01)/3 dá exatamente 3. Essa é a ideia da extrapolação de Richardson, e de fato f′(x) = 3x², então f′(1) = 3.
- Passo 3, segunda derivada: (1,331 − 2 × 1 + 0,729)/0,1² = 0,06/0,01 = 6, o que bate com f″(x) = 6x em x = 1. A calculadora mostra f(1) = 1, f′(1) = 3 e f″(1) = 6.
- Integral de x² de 0 a 3: a primitiva é x³/3, então o valor exato é 3³/3 − 0 = 9. A calculadora mostra 9 com um erro estimado minúsculo.
- A integração numérica funciona mesmo sem primitiva elementar: ∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0,746824132812, e a integral de e^(−x²) de −∞ a ∞ é √π ≈ 1,77245385091.
Regras de digitação e erros comuns
- As funções trigonométricas usam radianos, então sin(30) dá cerca de −0,988, e não 0,5. Para graus, multiplique por pi/180: sin(30pi/180) = 0,5.
- Funções precisam de parênteses: escreva sin(x), não sin x. sin^2(x) significa (sin x)², e para o arco-seno use asin(x), porque sin^-1(x) não é aceito.
- e é sempre o número de Euler (2,718…), então 1e-6 é lido como 1·e − 6 ≈ −3,28. Escreva 10^-6 para 0,000001.
- −x^2 significa −(x²), 2^3^2 = 2^9 = 512 e 1/2x significa (1/2)·x. Para dividir por 2x, escreva 1/(2x).
- O sinal de multiplicação pode ser omitido, como em 2x, 2(x+1) e x sin(x). ln é o logaritmo natural e log, o de base 10. Funções disponíveis: sin, cos, tan, cot, sec, csc, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh, ln, log, log10, log2, sqrt, cbrt, abs ou |x|, exp
Perguntas frequentes
A calculadora mostra a primitiva ou a fórmula da derivada?
Não, ela mostra só números. Calcula numericamente a derivada em um ponto e a integral definida entre dois limites, sem gerar fórmulas como 3x² ou x³/3.
Qual é a precisão dos resultados?
Em geral eles acertam 10 ou mais algarismos significativos e são exibidos com até 12. A integral também mostra um erro estimado (±), e a precisão pode cair em funções que não são suaves.
Dá para calcular integrais impróprias com limites infinitos?
Sim, digite inf, -inf ou ∞ como limite. Por exemplo, a integral de 1/x² de 1 a inf é 1, e a de e^(−x²) de -inf a inf é √π ≈ 1,77245385091.
Por que aparece que a integral pode divergir ou não convergiu?
Porque a área não se aproxima de um valor finito, ou porque f(x) fica infinita ou indefinida dentro do intervalo. Por exemplo, ∫₀¹ 1/x dx e a integral de sin(x) de 0 a inf não convergem, enquanto ∫₀¹ 1/√x dx = 2 converge.
Por que a derivada aparece como “Não é possível calcular”?
Porque a derivada não existe nesse ponto. Isso acontece num ponto anguloso, como |x| em x = 0, ou onde a função só é definida de um lado, como sqrt(x) em x = 0; sem primeira derivada também não há segunda.
Posso digitar ângulos em graus?
Não, as funções trigonométricas sempre usam radianos. Multiplique os graus por pi/180, por exemplo cos(60pi/180) = 0,5.
Como digito notação científica como 1e-6?
Escreva 10^-6 ou 0,000001. Aqui a letra e é sempre o número de Euler, então 1e-6 é lido como 1·e − 6 ≈ −3,28.