حاسبة المعادلات

طريقة الاستخدام

• اختر من الأعلى: الدرجة الثانية أو الدرجة الثالثة أو نظام (x, y) أو نظام (x, y, z).
• انقل كل الحدود إلى طرف واحد حتى يصبح الطرف الآخر 0، ثم أدخل المعاملات بالترتيب. للمعادلة x² − 5x + 6 = 0 أدخل a = 1 وb = −5 وc = 6.
• في الأنظمة، أدخل لكل معادلة معاملات x وy، وكذلك z في النظام الثلاثي، ثم الحد الثابت. للمعادلة 2x + y = 5 أدخل 2 و1 و5.
• يظهر الحل أثناء الكتابة، ومعه المعادلة مكتوبة بالمعاملات التي أدخلتها لتكتشف أي خطأ في الإدخال فورًا.
• في معادلة الدرجة الثانية تظهر أيضًا طبيعة الجذور والمميز والرأس، وفي معادلة الدرجة الثالثة تظهر طبيعة الجذور والمميز.

القانون العام والمميز

تُحسب جذور المعادلة ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0 بالقانون العام x = (−b ± √D) / 2a. ويسمى العدد تحت الجذر D = b² − 4ac المميز، وإشارته تحدد نوع الجذور.

• إذا كان D > 0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان.
• إذا كان D = 0 فهناك جذر مكرر واحد هو x = −b / 2a.
• إذا كان D < 0 فلا توجد جذور حقيقية، بل جذران مركبان مترافقان بالصيغة p ± qi.
• الرأس (−b / 2a, c − b² / 4a) هو أدنى نقطة في القطع المكافئ y = ax² + bx + c عندما يكون a > 0، وأعلى نقطة فيه عندما يكون a < 0.
• إذا كان a = 0 فلم تعد المعادلة من الدرجة الثانية، فتُحل كمعادلة من الدرجة الأولى bx + c = 0 وحلها x = −c / b.

حل معادلات الدرجة الثالثة والأنظمة

في المعادلة ax³ + bx² + cx + d = 0 يُحسب المميز أولًا، ويُرمز له بالرمز Δ، وقيمته 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². إذا كان المميز موجبًا فهناك ثلاثة جذور حقيقية مختلفة، وإذا كان صفرًا فهناك جذر مكرر مرتين أو ثلاث مرات، وإذا كان سالبًا فهناك جذر حقيقي واحد وجذران مركبان مترافقان. وتُحسب الجذور الحقيقية بالطريقة المثلثية أو بصيغة كاردانو، ثم تُحسَّن دقتها بطريقة نيوتن.

تُحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة حذف غاوس: يُطرح من المعادلات الأخرى مضاعف لإحدى المعادلات لحذف المجاهيل واحدًا تلو الآخر، ثم تُستخرج القيم بالتعويض العكسي. وفي كل خطوة تُختار المعادلة ذات المعامل الأكبر نسبيًا محورًا، وهي طريقة المحورية الجزئية، لتقليل أخطاء التقريب.

إذا لم يكن هناك حل وحيد، تُقارن رتبة مصفوفة المعاملات برتبة المصفوفة الموسعة التي تضم الحدود الثابتة. فإذا اختلفت الرتبتان كانت المعادلات متناقضة ولا يوجد حل، وإذا تساوتا كان هناك عدد لا نهائي من الحلول.

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

المثال الأول: 2x² − 3x − 2 = 0. هنا a = 2 وb = −3 وc = −2، إذن D = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. وبما أن √D = 5 فإن x = (3 ± 5) / 4، أي أن الجذرين هما −0.5 و2. والإحداثي السيني للرأس 3 / 4 = 0.75 والإحداثي الصادي −2 − 9 / 8 = −3.125، فالرأس هو (0.75, −3.125).

المثال الثاني: 3x + 2y = 12 وx − y = −1. نضرب المعادلة الثانية في 2 فنحصل على 2x − 2y = −2، ثم نجمعها مع الأولى فيكون 5x = 10، أي x = 2. وبالتعويض في x − y = −1 نجد y = 3.

• المعادلة x² − 5x + 6 = 0 مميزها D = 1، وجذراها 2 و3، ورأس القطع (2.5, −0.25).
• المعادلة x² + 2x + 5 = 0 مميزها D = −16، وجذراها x = −1 ± 2i.
• حلول المعادلة x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 هي 1 و2 و3، ومميزها 4.
• المعادلة x³ − 3x + 2 = 0 مميزها 0، ولها جذر مكرر x = 1 وجذر بسيط x = −2.
• المعادلة x³ − 1 = 0 مميزها −27، ولها جذر حقيقي x = 1 وجذران مركبان x = −0.5 ± 0.866025403784i.
• حل النظام 2x + y = 5 وx − y = 1 هو x = 2 وy = 1.
• حل النظام x + y + z = 6 و2y + 5z = −4 و2x + 5y − z = 27 هو x = 5 وy = 3 وz = −2.

أخطاء شائعة ونصائح

• أدخل المعاملات السالبة بإشارتها: في المعادلة x² − 5x + 6 = 0 قيمة b هي −5 وليست 5.
• اكتب 0 للحد غير الموجود بدل ترك الخانة فارغة: معاملات المعادلة x² − 9 = 0 هي a = 1 وb = 0 وc = −9، ومعاملات x³ − 1 = 0 هي a = 1 وb = 0 وc = 0 وd = −1.
• انقل كل الحدود إلى طرف واحد أولًا: المعادلة x² = 3x + 4 تصبح x² − 3x − 4 = 0، فتُدخل a = 1 وb = −3 وc = −4.
• لا تُقبل الكسور ولا الصيغة العلمية مثل 1e3. حوّل الكسور إلى أعداد عشرية، أو اضرب المعادلة كلها في المقامات: ضرب x²/2 + x/3 − 1 = 0 في 6 يعطي 3x² + 2x − 6 = 0، ولها الجذور نفسها.
• تُقرَّب النتائج إلى 12 رقمًا معنويًا، لذلك يظهر جذر غير نسبي مثل √2 بالقيمة 1.41421356237.
• قد يظهر جذران متقاربان جدًا، يختلفان بنحو جزء من مليون أو أقل، كجذر مكرر واحد، لأن فروق التقريب الضئيلة تُعامل على أنها صفر.