사용법
- 위쪽에서 이차방정식, 삼차방정식, 연립방정식 (x, y), 연립방정식 (x, y, z) 중 하나를 고릅니다.
- 식을 우변이 0이 되도록 정리한 뒤 계수를 차례대로 넣습니다. x² − 5x + 6 = 0이라면 a = 1, b = −5, c = 6입니다.
- 연립방정식은 식마다 x, y(, z)의 계수와 우변의 상수를 넣습니다. 2x + y = 5라면 2, 1, 5입니다.
- 입력하는 즉시 해가 나오고, 입력한 계수로 다시 쓴 “풀이할 식”이 함께 보이므로 잘못 넣은 값을 바로 확인할 수 있습니다.
- 이차방정식은 근과 함께 근의 종류, 판별식, 꼭짓점을 보여주고, 삼차방정식은 근의 종류와 판별식을 보여줍니다.
이차방정식 근의 공식과 판별식
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식 x = (−b ± √D) / 2a로 구합니다. 근호 안의 값 D = b² − 4ac를 판별식이라고 하며, 그 부호로 근의 종류가 정해집니다.
- D > 0: 서로 다른 두 실근
- D = 0: 중근 하나 (x = −b / 2a)
- D < 0: 실근은 없고, p ± qi 꼴의 서로 켤레인 두 허근
- 꼭짓점 (−b / 2a, c − b² / 4a): 포물선 y = ax² + bx + c에서 a > 0이면 가장 낮은 점, a < 0이면 가장 높은 점입니다.
- a = 0이면 이차방정식이 아니므로 일차방정식 bx + c = 0으로 풀어 x = −c / b를 보여줍니다.
삼차방정식과 연립방정식 푸는 방법
삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0은 먼저 판별식 Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²의 부호로 근의 종류를 정합니다. Δ > 0이면 서로 다른 세 실근, Δ = 0이면 중근이나 삼중근, Δ < 0이면 실근 하나와 켤레 허근 두 개입니다. 실근은 삼각함수 해법이나 카르다노 공식으로 구한 뒤 뉴턴법으로 한 번 더 다듬어 오차를 줄입니다.
연립일차방정식은 가우스 소거법으로 풉니다. 한 식에 알맞은 수를 곱해 다른 식에서 빼는 방식으로 미지수를 하나씩 없애고, 마지막에 구한 값부터 거꾸로 대입합니다. 이때 계수가 상대적으로 가장 큰 식을 기준으로 삼아(부분 피벗) 반올림 오차를 줄입니다.
해가 하나로 정해지지 않으면 계수 행렬과 우변까지 붙인 행렬의 계수(rank)를 비교합니다. 둘이 다르면 식들이 서로 모순되어 해가 없고, 같으면 식들이 겹쳐 해가 무수히 많습니다.
단계별 풀이 예시
예 1) 2x² − 3x − 2 = 0: a = 2, b = −3, c = −2이므로 D = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25입니다. √D = 5이므로 x = (3 ± 5) / 4, 즉 x₁ = −0.5, x₂ = 2입니다. 꼭짓점은 x = 3 / 4 = 0.75, y = −2 − 9 / 8 = −3.125이므로 (0.75, −3.125)입니다.
예 2) 3x + 2y = 12, x − y = −1: 둘째 식에 2를 곱하면 2x − 2y = −2이고, 이를 첫째 식과 더하면 5x = 10이므로 x = 2입니다. 이 값을 x − y = −1에 대입하면 y = 3입니다.
- x² − 5x + 6 = 0: D = 1, x₁ = 2, x₂ = 3, 꼭짓점 (2.5, −0.25)
- x² + 2x + 5 = 0: D = −16, x = −1 ± 2i
- x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: Δ = 4, x = 1, 2, 3
- x³ − 3x + 2 = 0: Δ = 0, 중근 x = 1과 다른 실근 x = −2
- x³ − 1 = 0: Δ = −27, 실근 x = 1과 허근 x = −0.5 ± 0.866025403784i
- 2x + y = 5, x − y = 1: x = 2, y = 1
- x + y + z = 6, 2y + 5z = −4, 2x + 5y − z = 27: x = 5, y = 3, z = −2
자주 하는 실수와 알아둘 점
- 음수 계수는 부호까지 넣어야 합니다. x² − 5x + 6 = 0의 b는 5가 아니라 −5입니다.
- 없는 항은 칸을 비워 두지 말고 0을 넣습니다. x² − 9 = 0은 a = 1, b = 0, c = −9이고, x³ − 1 = 0은 a = 1, b = 0, c = 0, d = −1입니다.
- 우변에 항이 있으면 먼저 좌변으로 옮깁니다. x² = 3x + 4는 x² − 3x − 4 = 0으로 바꿔 a = 1, b = −3, c = −4를 넣습니다.
- 분수와 1e3 같은 지수 표기는 입력할 수 없습니다. 분수 계수는 소수로 바꾸거나 식 전체에 분모를 곱하세요. x²/2 + x/3 − 1 = 0에 6을 곱한 3x² + 2x − 6 = 0은 근이 같습니다.
- 결과는 유효숫자 12자리로 반올림해 보여주므로 √2 같은 무리수 근은 1.41421356237로 표시됩니다.
- 차이가 대략 10⁻⁶ 이하로 아주 가까운 두 근은 미세한 반올림 오차를 0으로 보기 때문에 중근 하나로 합쳐 보일 수 있습니다.
자주 묻는 질문
최고차항의 계수 a에 0을 넣으면 어떻게 되나요?
차수를 낮춰 풉니다. 이차방정식에서 a = 0이면 일차방정식 bx + c = 0으로, 삼차방정식에서 a = 0이면 이차방정식으로 풉니다. 이차방정식에서 a와 b가 모두 0이면 c가 0이 아닐 때는 해가 없고, c = 0이면 모든 수가 해입니다.
판별식이 음수이면 해가 없나요?
실수 해는 없지만 복소수 범위에서는 서로 켤레인 두 허근이 있습니다. 예를 들어 x² + 2x + 5 = 0은 D = −16이므로 x = −1 ± 2i이고, 여기서 i는 제곱하면 −1이 되는 허수 단위입니다.
연립방정식에서 “유일한 해가 없습니다”는 무슨 뜻인가요?
식들이 서로 독립이 아니어서 해가 하나로 정해지지 않는다는 뜻입니다. x + y = 2와 2x + 2y = 4는 같은 직선이라 해가 무수히 많고, x + y = 2와 2x + 2y = 5는 평행한 직선이라 해가 없습니다. 계산기는 둘 중 어느 경우인지도 함께 알려줍니다.
분수나 소수 계수도 입력할 수 있나요?
소수는 그대로 입력할 수 있지만 분수는 입력할 수 없습니다. 1/2은 0.5로 바꿔 넣거나, 식 전체에 분모를 곱해 계수를 정수로 만든 뒤 입력하세요.
판별식으로 실근의 개수를 어떻게 알 수 있나요?
판별식의 부호를 보면 됩니다. 이차방정식은 D > 0이면 실근 2개, D = 0이면 중근 1개, D < 0이면 실근이 없습니다. 삼차방정식은 Δ > 0이면 서로 다른 실근 3개, Δ < 0이면 실근 1개이고, Δ = 0이면 중근이나 삼중근이 있습니다.
이차함수의 꼭짓점은 어떻게 구하나요?
꼭짓점은 (−b / 2a, c − b² / 4a)로 구하며, 포물선 y = ax² + bx + c가 가장 낮거나(a > 0) 가장 높아지는(a < 0) 점입니다. 예를 들어 x² − 5x + 6의 꼭짓점은 (2.5, −0.25)이고, 이 계산기는 이차방정식을 풀 때 꼭짓점도 함께 보여줍니다.
사차방정식이나 다른 방정식도 풀 수 있나요?
아니요, 이차방정식, 삼차방정식, 미지수 2개·3개의 연립일차방정식만 풉니다. 사차 이상의 방정식이나 비선형 연립방정식은 지원하지 않습니다.