Cómo se usa
- Elige arriba Segundo grado, Tercer grado, Sistema (x, y) o Sistema (x, y, z).
- Pasa todos los términos a un lado para que la ecuación quede igualada a 0 y escribe los coeficientes en orden. Para x² − 5x + 6 = 0, introduce a = 1, b = −5 y c = 6.
- En un sistema, escribe en cada ecuación los coeficientes de x, y (y z) y el término independiente del segundo miembro. Para 2x + y = 5, introduce 2 en x, 1 en y y 5 en el segundo miembro.
- La solución aparece mientras escribes, junto con la ecuación formada con tus coeficientes, para que detectes cualquier error al instante.
- En las ecuaciones de segundo grado verás también el tipo de raíces, el discriminante y el vértice; en las cúbicas, el tipo de raíces y el discriminante.
Fórmula general y discriminante
Las raíces de ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) se obtienen con la fórmula general x = (−b ± √Δ) / 2a. El número bajo la raíz, Δ = b² − 4ac, es el discriminante, y su signo indica qué tipo de raíces tiene la ecuación.
- Δ > 0: dos raíces reales distintas
- Δ = 0: una raíz doble, x = −b / 2a
- Δ < 0: ninguna raíz real, pero sí dos raíces complejas conjugadas p ± qi
- Vértice (−b / 2a; c − b² / 4a): el punto más bajo de la parábola y = ax² + bx + c si a > 0, o el más alto si a < 0.
- Si a = 0, la ecuación deja de ser de segundo grado y se resuelve como la ecuación lineal bx + c = 0, con x = −c / b.
Cómo se resuelven las cúbicas y los sistemas
En ax³ + bx² + cx + d = 0 se calcula primero el discriminante Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Si Δ > 0 hay tres raíces reales distintas; si Δ = 0, una raíz doble o triple; y si Δ < 0, una raíz real y dos complejas conjugadas. Las raíces reales se obtienen con el método trigonométrico o la fórmula de Cardano y después se afinan con el método de Newton.
Los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven por eliminación de Gauss: a las demás ecuaciones se les resta un múltiplo de una de ellas para eliminar las incógnitas de una en una y, al final, los valores se despejan por sustitución hacia atrás. En cada paso se toma como pivote la ecuación con el coeficiente relativamente mayor (pivoteo parcial) para reducir los errores de redondeo.
Si no hay una solución única, se compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada. Si los rangos son distintos, el sistema es incompatible y no tiene solución; si son iguales, es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: 2x² − 3x − 2 = 0. Aquí a = 2, b = −3 y c = −2, así que Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Como √Δ = 5, x = (3 ± 5) / 4, es decir, x₁ = −0,5 y x₂ = 2. El vértice está en x = 3 / 4 = 0,75 e y = −2 − 9 / 8 = −3,125: (0,75; −3,125).
Ejemplo 2: 3x + 2y = 12 y x − y = −1. Multiplica la segunda ecuación por 2 para obtener 2x − 2y = −2 y súmala a la primera: 5x = 10, así que x = 2. Sustituyendo en x − y = −1 se obtiene y = 3.
- x² − 5x + 6 = 0: Δ = 1, x₁ = 2, x₂ = 3, vértice (2,5; −0,25)
- x² + 2x + 5 = 0: Δ = −16, x = −1 ± 2i
- x³ − 6x² + 11x − 6 = 0: Δ = 4, x = 1, x = 2 y x = 3
- x³ − 3x + 2 = 0: Δ = 0, raíz doble x = 1 y raíz simple x = −2
- x³ − 1 = 0: Δ = −27, raíz real x = 1 y raíces complejas x = −0,5 ± 0,866025403784i
- 2x + y = 5 y x − y = 1: x = 2, y = 1
- x + y + z = 6, 2y + 5z = −4 y 2x + 5y − z = 27: x = 5, y = 3, z = −2
Errores frecuentes y datos útiles
- Escribe los coeficientes negativos con su signo: en x² − 5x + 6 = 0, b vale −5, no 5.
- Pon 0 en los términos que faltan en lugar de dejar la casilla vacía: x² − 9 = 0 es a = 1, b = 0, c = −9, y x³ − 1 = 0 es a = 1, b = 0, c = 0, d = −1.
- Pasa primero todos los términos a un lado: x² = 3x + 4 se convierte en x² − 3x − 4 = 0, así que introduces a = 1, b = −3 y c = −4.
- No se admiten fracciones ni notación científica como 1e3. Pasa las fracciones a decimal o multiplica toda la ecuación por los denominadores: x²/2 + x/3 − 1 = 0 multiplicada por 6 da 3x² + 2x − 6 = 0, que tiene las mismas raíces.
- Puedes usar coma o punto decimal. Los resultados se redondean a 12 cifras significativas, así que una raíz irracional como √2 aparece como 1,41421356237.
- Dos raíces que difieren en aproximadamente 10⁻⁶ o menos pueden mostrarse como una sola raíz doble, porque las diferencias mínimas de redondeo se consideran cero.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si el coeficiente principal a es 0?
La ecuación se resuelve con un grado menos. Una ecuación de segundo grado con a = 0 pasa a ser bx + c = 0, y una cúbica con a = 0 se resuelve como ecuación de segundo grado. Si en la de segundo grado a y b son 0, no hay solución cuando c ≠ 0 y todo número es solución cuando c = 0.
¿La ecuación no tiene solución si el discriminante es negativo?
No tiene soluciones reales, pero sí dos raíces complejas conjugadas. Por ejemplo, x² + 2x + 5 = 0 tiene Δ = −16, así que x = −1 ± 2i, donde i es la unidad imaginaria, cuyo cuadrado es −1.
¿Qué quiere decir «No hay una solución única» en un sistema?
Que las ecuaciones no son independientes y no determinan una única solución. x + y = 2 y 2x + 2y = 4 son la misma recta, con infinitas soluciones, mientras que x + y = 2 y 2x + 2y = 5 son rectas paralelas, sin solución. La calculadora indica además cuál de los dos casos es.
¿Puedo escribir fracciones o decimales?
Los decimales sí, con coma o con punto, pero las fracciones no. Escribe 1/2 como 0,5 o multiplica toda la ecuación por el denominador para que todos los coeficientes sean enteros.
¿Cómo sé cuántas raíces reales tiene una ecuación?
Por el signo del discriminante. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales si Δ > 0, una raíz doble si Δ = 0 y ninguna si Δ < 0. Una cúbica tiene tres raíces reales distintas si Δ > 0, una sola si Δ < 0 y una raíz doble o triple si Δ = 0.
¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?
El vértice está en (−b / 2a; c − b² / 4a) y es el punto más bajo de y = ax² + bx + c si a > 0, o el más alto si a < 0. Para x² − 5x + 6 es (2,5; −0,25), y la calculadora lo muestra siempre que resuelves una ecuación de segundo grado.
¿Resuelve ecuaciones de cuarto grado o no lineales?
No. Solo resuelve ecuaciones de segundo y tercer grado y sistemas de ecuaciones lineales con 2 o 3 incógnitas; las ecuaciones de cuarto grado o superior y los sistemas no lineales no están disponibles.