Calculatrice d’équations

Mode d’emploi

• Choisissez en haut Second degré, Troisième degré, Système (x, y) ou Système (x, y, z).
• Ramenez l’équation à la forme … = 0, puis saisissez les coefficients dans l’ordre. Pour x² − 5x + 6 = 0, entrez a = 1, b = −5 et c = 6.
• Pour un système, saisissez pour chaque équation les coefficients de x, y (et z) et la constante du second membre. Pour 2x + y = 5, entrez 2 pour x, 1 pour y et 5 pour le second membre.
• La solution s’affiche pendant la saisie, avec l’équation reconstituée à partir de vos coefficients pour repérer tout de suite une erreur de saisie.
• Pour le second degré, la calculatrice indique aussi la nature des racines, le discriminant et le sommet ; pour le troisième degré, la nature des racines et le discriminant.

Formule du second degré et discriminant

Les racines de ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0) se calculent avec la formule x = (−b ± √Δ) / 2a. Le nombre sous la racine, Δ = b² − 4ac, est le discriminant : son signe indique la nature des racines.

• Δ > 0 : deux racines réelles distinctes
• Δ = 0 : une racine double, x = −b / 2a
• Δ < 0 : aucune racine réelle, mais deux racines complexes conjuguées p ± qi
• Sommet (−b / 2a ; c − b² / 4a) : le point le plus bas de la parabole y = ax² + bx + c si a > 0, ou le plus haut si a < 0.
• Si a = 0, l’équation n’est plus du second degré : elle est résolue comme l’équation du premier degré bx + c = 0, d’où x = −c / b.

Résolution du troisième degré et des systèmes

Pour ax³ + bx² + cx + d = 0, on calcule d’abord le discriminant Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Si Δ > 0, il y a trois racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine double ou triple ; si Δ < 0, une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Les racines réelles sont obtenues par la méthode trigonométrique ou la formule de Cardan, puis affinées par la méthode de Newton.

Les systèmes d’équations linéaires sont résolus par la méthode du pivot de Gauss : on retranche aux autres équations un multiple de l’une d’elles pour éliminer les inconnues une à une, puis on remonte les équations pour trouver chaque valeur. À chaque étape, l’équation dont le coefficient est relativement le plus grand sert de pivot (pivot partiel), ce qui limite les erreurs d’arrondi.

S’il n’y a pas de solution unique, le rang de la matrice des coefficients est comparé à celui de la matrice augmentée du second membre. Des rangs différents signifient que les équations sont incompatibles et qu’il n’y a aucune solution ; des rangs égaux, qu’il y a une infinité de solutions.

Exemples résolus pas à pas

Exemple 1 : 2x² − 3x − 2 = 0. Ici a = 2, b = −3 et c = −2, donc Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Comme √Δ = 5, x = (3 ± 5) / 4, soit x₁ = −0,5 et x₂ = 2. Le sommet a pour abscisse 3 / 4 = 0,75 et pour ordonnée −2 − 9 / 8 = −3,125 : (0,75 ; −3,125).

Exemple 2 : 3x + 2y = 12 et x − y = −1. On multiplie la seconde équation par 2 pour obtenir 2x − 2y = −2, puis on l’ajoute à la première : 5x = 10, donc x = 2. En remplaçant dans x − y = −1, on trouve y = 3.

• x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 1, x₁ = 2, x₂ = 3, sommet (2,5 ; −0,25)
• x² + 2x + 5 = 0 : Δ = −16, x = −1 ± 2i
• x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 : Δ = 4, x = 1, x = 2 et x = 3
• x³ − 3x + 2 = 0 : Δ = 0, racine double x = 1 et racine simple x = −2
• x³ − 1 = 0 : Δ = −27, racine réelle x = 1 et racines complexes x = −0,5 ± 0,866025403784i
• 2x + y = 5 et x − y = 1 : x = 2, y = 1
• x + y + z = 6, 2y + 5z = −4 et 2x + 5y − z = 27 : x = 5, y = 3, z = −2

Erreurs fréquentes et bon à savoir

• Saisissez les coefficients négatifs avec leur signe : dans x² − 5x + 6 = 0, b vaut −5 et non 5.
• Mettez 0 pour un terme absent au lieu de laisser la case vide : x² − 9 = 0 donne a = 1, b = 0, c = −9, et x³ − 1 = 0 donne a = 1, b = 0, c = 0, d = −1.
• Passez d’abord tous les termes du même côté : x² = 3x + 4 devient x² − 3x − 4 = 0, soit a = 1, b = −3 et c = −4.
• Les fractions et la notation scientifique comme 1e3 ne sont pas acceptées. Convertissez les fractions en décimaux ou multipliez toute l’équation par les dénominateurs : x²/2 + x/3 − 1 = 0 multipliée par 6 donne 3x² + 2x − 6 = 0, qui a les mêmes racines.
• La virgule et le point sont acceptés comme séparateur décimal. Les résultats sont arrondis à 12 chiffres significatifs : une racine irrationnelle comme √2 s’affiche 1,41421356237.
• Deux racines qui diffèrent d’environ 10⁻⁶ ou moins peuvent être regroupées en une seule racine double, car les écarts d’arrondi infimes sont considérés comme nuls.