使い方
- 上のボタンで二次方程式、三次方程式、連立方程式 (x, y)、連立方程式 (x, y, z) から選びます。
- 右辺が 0 になるように式を整理してから、係数を順に入力します。x² − 5x + 6 = 0 なら a = 1、b = −5、c = 6 です。
- 連立方程式では、式ごとに x、y（3元なら z も）の係数と右辺の定数を入力します。2x + y = 5 なら 2、1、5 です。
- 入力するとすぐに解が表示されます。入力した係数で組み立てた式も表示されるので、入力ミスにすぐ気づけます。
- 二次方程式では解の種類・判別式・頂点を、三次方程式では解の種類と判別式もあわせて表示します。
二次方程式の解の公式と判別式
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の解は、解の公式 x = (−b ± √D) / 2a で求めます。根号の中の D = b² − 4ac を判別式といい、その符号で解の種類が決まります。
- D > 0：異なる2つの実数解
- D = 0：重解（x = −b / 2a）
- D < 0：実数解はなく、p ± qi の形の互いに共役な2つの虚数解
- 頂点 (−b / 2a, c − b² / 4a)：放物線 y = ax² + bx + c の最も低い点（a > 0 のとき）または最も高い点（a < 0 のとき）です。
- a = 0 のときは二次方程式ではなくなるため、一次方程式 bx + c = 0 として解き、x = −c / b を表示します。
三次方程式と連立方程式の解き方
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 は、まず判別式 Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d² の符号で解の種類を決めます。Δ > 0 なら異なる3つの実数解、Δ = 0 なら重解または三重解、Δ < 0 なら1つの実数解と互いに共役な2つの虚数解です。実数解は三角関数を使う解法やカルダノの公式で求めたあと、ニュートン法で精度を高めます。
連立一次方程式はガウスの消去法で解きます。ある式を何倍かして他の式から引き、未知数を1つずつ消していき、最後に後ろから代入して値を求めます。各段階で係数が相対的に最も大きい式を基準にする（部分ピボット選択）ことで、丸め誤差を抑えます。
解が1つに定まらない場合は、係数行列の階数（ランク）と、右辺を加えた拡大係数行列の階数を比べます。階数が異なれば式どうしが矛盾して解はなく（不能）、等しければ解は無数にあります（不定）。
途中式つきの計算例
例1：2x² − 3x − 2 = 0。a = 2、b = −3、c = −2 なので、D = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 です。√D = 5 より x = (3 ± 5) / 4 となり、x₁ = −0.5、x₂ = 2 です。頂点は x = 3 / 4 = 0.75、y = −2 − 9 / 8 = −3.125 で、(0.75, −3.125) です。
例2：3x + 2y = 12、x − y = −1。2つ目の式を2倍すると 2x − 2y = −2 となり、1つ目の式と足すと 5x = 10 なので x = 2 です。これを x − y = −1 に代入すると y = 3 です。
- x² − 5x + 6 = 0：D = 1、x₁ = 2、x₂ = 3、頂点 (2.5, −0.25)
- x² + 2x + 5 = 0：D = −16、x = −1 ± 2i
- x³ − 6x² + 11x − 6 = 0：Δ = 4、x = 1, 2, 3
- x³ − 3x + 2 = 0：Δ = 0、重解 x = 1 と実数解 x = −2
- x³ − 1 = 0：Δ = −27、実数解 x = 1 と虚数解 x = −0.5 ± 0.866025403784i
- 2x + y = 5、x − y = 1：x = 2, y = 1
- x + y + z = 6、2y + 5z = −4、2x + 5y − z = 27：x = 5, y = 3, z = −2
よくある間違いと注意点
- 負の係数は符号まで入力します。x² − 5x + 6 = 0 の b は 5 ではなく −5 です。
- ない項は空欄にせず 0 を入れます。x² − 9 = 0 は a = 1、b = 0、c = −9、x³ − 1 = 0 は a = 1、b = 0、c = 0、d = −1 です。
- 右辺に項がある場合は、先に左辺へ移項します。x² = 3x + 4 は x² − 3x − 4 = 0 に直して a = 1、b = −3、c = −4 を入力します。
- 分数や 1e3 のような指数表記は入力できません。分数は小数に直すか、式全体に分母を掛けてください。x²/2 + x/3 − 1 = 0 の両辺を6倍した 3x² + 2x − 6 = 0 は同じ解を持ちます。
- 結果は有効数字12桁に丸めて表示するため、√2 のような無理数の解は 1.41421356237 と表示されます。
- 差がおよそ 10⁻⁶ 以下のごく近い2つの解は、わずかな丸め誤差を 0 とみなすため、1つの重解としてまとめて表示されることがあります。
よくある質問
最高次の係数 a に 0 を入れるとどうなりますか？
次数を下げて解きます。二次方程式で a = 0 なら一次方程式 bx + c = 0 として、三次方程式で a = 0 なら二次方程式として解きます。二次方程式で a と b がともに 0 の場合、c ≠ 0 なら解はなく、c = 0 ならすべての数が解です。
判別式が負のときは解がないのですか？
実数の解はありませんが、複素数の範囲では互いに共役な2つの虚数解があります。たとえば x² + 2x + 5 = 0 は D = −16 なので x = −1 ± 2i で、i は2乗すると −1 になる虚数単位です。
連立方程式で「解は1つに定まりません」と出るのはなぜですか？
式どうしが独立しておらず、解が1つに決まらないためです。x + y = 2 と 2x + 2y = 4 は同じ直線なので解は無数にあり、x + y = 2 と 2x + 2y = 5 は平行な直線なので解はありません。計算機はどちらの場合かもあわせて表示します。
分数や小数の係数も入力できますか？
小数はそのまま入力できますが、分数は入力できません。1/2 は 0.5 と入力するか、式全体に分母を掛けて係数を整数にしてから入力してください。
判別式から実数解の個数はどうわかりますか？
判別式の符号で決まります。二次方程式は D > 0 なら実数解2つ、D = 0 なら重解1つ、D < 0 なら実数解なしです。三次方程式は Δ > 0 なら異なる実数解3つ、Δ < 0 なら実数解1つ、Δ = 0 なら重解または三重解を持ちます。
放物線の頂点はどう求めますか？
頂点は (−b / 2a, c − b² / 4a) で求められ、放物線 y = ax² + bx + c の最も低い点（a > 0）または最も高い点（a < 0）です。x² − 5x + 6 の頂点は (2.5, −0.25) で、二次方程式を解くと計算機がこの値も表示します。
四次方程式や非線形の方程式も解けますか？
いいえ、解けるのは二次方程式、三次方程式、2元・3元の連立一次方程式だけです。四次以上の方程式や非線形の連立方程式には対応していません。