حاسبة الأعداد المركبة

طريقة الاستخدام

• اكتب Z1 وZ2 بالصورة الجبرية a+bi، مثل 3+4i أو −2.5i أو 5 أو 3−4j. يمكن كتابة الوحدة التخيلية i أو j، بحرف صغير أو كبير.
• يمكنك أيضًا كتابة الصورة القطبية r∠θ مثل 5∠53.13. تُقرأ الزاوية بوحدة الزاوية المختارة، وإذا أضفت ° أو rad بعدها فتُقرأ بتلك الوحدة، مثل 2∠30° أو 2∠0.5rad.
• اختر العملية. تظهر خانة Z2 في الجمع والطرح والضرب والقسمة فقط، وتظهر خانة الأس n عند الرفع إلى قوة فقط. أما المرافق والجذر التربيعي والمقلوب والدالة الأسية واللوغاريتم الطبيعي فتستخدم Z1 وحده.
• تتغير النتيجة أثناء الكتابة: تظهر أولًا الصورة الجبرية a+bi، ثم الصورة القطبية والصورة الأسية والمقياس والسعة، حتى 12 رقمًا معنويًا.
• تُطبَّق وحدة الزاوية (الدرجات افتراضيًا، أو الراديان) على السعة وعلى الصورتين القطبية والأسية المعروضتين وعلى الزوايا التي تكتبها.

القوانين: الصورة الجبرية والصورة القطبية ومبرهنة دي موافر

• الجمع والطرح يكونان جزءًا بجزء: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• الضرب بفك الأقواس واستخدام i² = −1، فيكون (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
• القسمة بضرب البسط والمقام في المرافق c − di، فيكون (a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
• المقياس r = √(a² + b²)، والسعة arg z = atan2(b, a)، وتُعطى السعة دائمًا أكبر من −180° ولا تتجاوز 180°.
• الصورة القطبية والأسية حسب صيغة أويلر: z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ)
• مبرهنة دي موافر: z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ)، وكذلك ln z = ln r + i·arg z، و e^(a + bi) = e^a(cos b + i sin b)

مثال خطوة بخطوة 1: ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

نستخدم القيم التي تظهر عند فتح الحاسبة: Z1 = 3 + 4i و Z2 = 1 − 2i.

• نفك حاصل الضرب: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i²
• وبما أن i² = −1 يصبح الناتج 3 − 2i + 8 = 11 − 2i، وصورته القطبية تقريبًا 11.1803398875∠−10.3048464688°.
• للقسمة نضرب البسط والمقام في مرافق المقسوم عليه 1 + 2i. يصبح البسط (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i، ويصبح المقام (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5.
• إذن (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i.
• أما الجمع والطرح فأبسط: (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i، و (3 + 4i) − (1 − 2i) = 2 + 6i

مثال خطوة بخطوة 2: الصورة القطبية ومبرهنة دي موافر

• مقياس العدد 3 + 4i هو r = √(3² + 4²) = √25 = 5
• سعته arg z = atan2(4, 3) ≈ 53.1301023542° أي 0.927295218002 rad، لذا 3 + 4i = 5∠53.13° = 5·e^(i·53.13°).
• وفي الاتجاه المعاكس: 2∠30° = 2(cos 30° + i sin 30°) = √3 + i ≈ 1.73205080757 + i
• حسب دي موافر: 1 + i = √2∠45°، لذا (1 + i)^8 = (√2)^8∠360° = 16
• وبالطريقة نفسها (2∠30°)^3 = 8∠90° = 8i، وللجذور التربيعية √(3 + 4i) = 2 + i و √(−4) = 2i

أخطاء شائعة ومعلومات مفيدة

• تحقق من وحدة الزاوية. عند اختيار الراديان تعني 2∠30 ثلاثين راديانًا لا 30 درجة. وعند الشك اكتب الوحدة صراحةً مثل 2∠30°.
• السعة ليست مجرد arctan(b/a). للعدد −3 − 4i تعطي arctan(4/3) القيمة 53.13°، لكن النقطة تقع في الربع الثالث، فالسعة الصحيحة atan2(−4, −3) ≈ −126.869897646°.
• الزاوية المقرَّبة تعطي نتيجة تقريبية: يتحول 5∠53.13 إلى 3.00000714566 + 3.99999464074i وليس إلى 3 + 4i تمامًا. أما مضاعفات 90° فتُحوَّل بدقة، مثل 2∠90 = 2i.
• يُكتب كل جزء مرة واحدة فقط: تُقبل 3+4i و 4i+3 و 3+j4 و 2*i، ولا تُقبل 3+4i+2.
• لا يمكن كتابة π أو الكسور، فاستخدم أعدادًا عشرية مثل 3.14159265359 أو 0.5. وتُحذف بقايا التقريب الصغيرة جدًا، لذلك تظهر e^(3.14159265359i) على أنها −1.
• تُحسب القوى الصحيحة حتى 1024 بالقيمة المطلقة بدقة عن طريق الضرب المتكرر، مثل (3 + 4i)² = −7 + 24i