Calculadora de números complejos

Cómo usarla

• Escribe Z₁ y Z₂ en forma binómica a+bi, por ejemplo 3+4i, −2,5i, 5 o 3−4j. La unidad imaginaria puede ser i o j, en mayúscula o minúscula.
• También puedes escribir la forma polar r∠θ, como 5∠53,13. El ángulo se lee en la unidad elegida; si añades ° o rad detrás, se usa esa unidad (2∠30° o 2∠0,5rad).
• Elige la operación. La casilla Z₂ solo aparece en +, −, × y ÷, y el exponente n solo en Z₁ⁿ. El conjugado, la raíz cuadrada, el inverso, e^Z₁ y ln Z₁ usan solo Z₁.
• El resultado cambia mientras escribes: primero la forma binómica a+bi y después la forma polar r∠θ, la exponencial r·e^(iθ), el módulo y el argumento, con hasta 12 cifras significativas.
• La unidad de ángulo (grados por defecto, o radianes) se aplica al argumento, a las formas polar y exponencial que se muestran y a los ángulos que escribas.

Fórmulas: forma binómica, forma polar y fórmula de De Moivre

• Suma y resta, parte por parte: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
• Multiplicación: se desarrolla el producto y se usa i² = −1, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
• División: se multiplican numerador y denominador por el conjugado c − di, (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)
• Módulo |z| = r = √(a² + b²) y argumento θ = atan2(b, a), expresado en el intervalo −180° < θ ≤ 180°
• Forma polar y exponencial (fórmula de Euler): z = r(cos θ + i sen θ) = r·e^(iθ)
• Fórmula de De Moivre: zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ). Además, ln z = ln|z| + i·arg z y e^(a + bi) = e^a(cos b + i sen b).

Ejemplo paso a paso 1: multiplicar y dividir números complejos

Usamos los valores con los que se abre la calculadora: Z₁ = 3 + 4i y Z₂ = 1 − 2i.

• Se desarrolla el producto: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i²
• Como i² = −1, queda 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. En forma polar es √125∠−10,3048464688° ≈ 11,1803398875∠−10,30°.
• Para dividir, se multiplican numerador y denominador por el conjugado del divisor, 1 + 2i. Arriba queda (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i y abajo (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5.
• Por tanto, (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i.
• La suma y la resta son más sencillas: (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i y (3 + 4i) − (1 − 2i) = 2 + 6i.

Ejemplo paso a paso 2: forma polar y fórmula de De Moivre

• Módulo de 3 + 4i: r = √(3² + 4²) = √25 = 5
• Argumento: θ = atan2(4, 3) ≈ 53,1301023542° (0,927295218002 rad), así que 3 + 4i = 5∠53,13° = 5·e^(i·53,13°).
• En sentido contrario, 2∠30° = 2(cos 30° + i sen 30°) = √3 + i ≈ 1,73205080757 + i.
• De Moivre: 1 + i = √2∠45°, luego (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠(8 × 45°) = 16∠360° = 16.
• Del mismo modo, (2∠30°)³ = 2³∠90° = 8i; y en raíces cuadradas, √(3 + 4i) = 2 + i y √(−4) = 2i.

Errores frecuentes y datos útiles

• Revisa la unidad de ángulo. En radianes, 2∠30 significa 30 radianes, no 30°. Si dudas, escribe la unidad: 2∠30°.
• El argumento no es simplemente arctan(b/a). Para −3 − 4i, arctan(4/3) da 53,13°, pero el punto está en el tercer cuadrante, así que arg = atan2(−4, −3) ≈ −126,869897646°.
• Un ángulo redondeado da un resultado aproximado: 5∠53,13 se convierte en 3,00000714566 + 3,99999464074i, no exactamente en 3 + 4i. Los múltiplos de 90° se convierten de forma exacta (2∠90 = 2i).
• Cada parte se escribe una sola vez: 3+4i, 4i+3, 3+j4 y 2*i son válidos, pero 3+4i+2 no.
• No se pueden escribir π ni fracciones; usa decimales como 3,14159265359 o 0,5. Los restos mínimos de redondeo se eliminan, por eso e^(3,14159265359i) da −1.
• Las potencias enteras hasta ±1024 se calculan de forma exacta multiplicando repetidamente, por ejemplo (3 + 4i)² = −7 + 24i.