Mode d’emploi
- Saisissez Z₁ et Z₂ sous forme algébrique a+bi, par exemple 3+4i, −2,5i, 5 ou 3−4j. L’unité imaginaire peut s’écrire i ou j, en minuscule comme en majuscule.
- Vous pouvez aussi saisir la forme polaire r∠θ, comme 5∠53,13. L’angle est lu dans l’unité choisie, sauf si vous ajoutez ° ou rad derrière (2∠30° ou 2∠0,5rad).
- Choisissez l’opération. La case Z₂ n’apparaît que pour +, −, × et ÷, et l’exposant n que pour Z₁ⁿ. Le conjugué, la racine carrée, l’inverse, e^Z₁ et ln Z₁ n’utilisent que Z₁.
- Le résultat se met à jour pendant la saisie : d’abord la forme algébrique a+bi, puis la forme polaire r∠θ, la forme exponentielle r·e^(iθ), le module et l’argument, avec 12 chiffres significatifs.
- L’unité d’angle (degrés par défaut, ou radians) s’applique à l’argument, aux formes polaire et exponentielle affichées et aux angles saisis.
Formules : forme algébrique, forme polaire et formule de Moivre
- Addition et soustraction, partie par partie : (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
- Multiplication, en développant et en utilisant i² = −1 : (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Division, en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué c − di : (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)
- Module |z| = r = √(a² + b²) et argument θ = atan2(b, a), donné dans l’intervalle −180° < θ ≤ 180°
- Forme trigonométrique et exponentielle (formule d’Euler) : z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ)
- Formule de Moivre zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Par ailleurs, ln z = ln|z| + i·arg z et e^(a + bi) = e^a(cos b + i sin b).
Exemple pas à pas 1 : multiplier et diviser des nombres complexes
Reprenons les valeurs affichées à l’ouverture de la calculatrice : Z₁ = 3 + 4i et Z₂ = 1 − 2i.
- On développe le produit : (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i²
- Comme i² = −1, on obtient 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Sous forme polaire : √125∠−10,3048464688° ≈ 11,1803398875∠−10,30°.
- Pour diviser, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du diviseur, 1 + 2i. Le numérateur devient (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i et le dénominateur (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5.
- Donc (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i.
- L’addition et la soustraction sont plus simples : (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i et (3 + 4i) − (1 − 2i) = 2 + 6i.
Exemple pas à pas 2 : forme polaire et formule de Moivre
- Module de 3 + 4i : r = √(3² + 4²) = √25 = 5
- Argument : θ = atan2(4, 3) ≈ 53,1301023542° (0,927295218002 rad), donc 3 + 4i = 5∠53,13° = 5·e^(i·53,13°).
- Dans l’autre sens, 2∠30° = 2(cos 30° + i sin 30°) = √3 + i ≈ 1,73205080757 + i.
- Moivre : 1 + i = √2∠45°, donc (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠(8 × 45°) = 16∠360° = 16.
- De même, (2∠30°)³ = 2³∠90° = 8i ; pour les racines carrées, √(3 + 4i) = 2 + i et √(−4) = 2i.
Erreurs fréquentes et bon à savoir
- Vérifiez l’unité d’angle. En radians, 2∠30 signifie 30 radians, et non 30°. En cas de doute, précisez l’unité : 2∠30°.
- L’argument n’est pas simplement arctan(b/a). Pour −3 − 4i, arctan(4/3) donne 53,13°, mais le point est dans le troisième quadrant, donc arg = atan2(−4, −3) ≈ −126,869897646°.
- Un angle arrondi donne un résultat approché : 5∠53,13 donne 3,00000714566 + 3,99999464074i, et non exactement 3 + 4i. Les multiples de 90° sont convertis exactement (2∠90 = 2i).
- Chaque partie ne s’écrit qu’une fois : 3+4i, 4i+3, 3+j4 et 2*i sont acceptés, mais pas 3+4i+2.
- π et les fractions ne peuvent pas être saisis, utilisez des décimaux comme 3,14159265359 ou 0,5. Les infimes restes d’arrondi sont supprimés, c’est pourquoi e^(3,14159265359i) affiche −1.
- Les puissances entières jusqu’à ±1024 sont calculées exactement par multiplications successives, par exemple (3 + 4i)² = −7 + 24i.
Questions fréquentes
Comment mettre un nombre complexe sous forme polaire ?
Saisissez-le dans Z₁ et choisissez « Convertir Z₁ » : la calculatrice affiche r∠θ, la forme exponentielle, le module et l’argument. Par exemple, 3 + 4i a pour module r = √(3² + 4²) = 5 et pour argument θ ≈ 53,13°, donc 3 + 4i = 5∠53,13°.
Comment passer de la forme polaire à la forme algébrique a+bi ?
Saisissez le nombre sous la forme r∠θ, par exemple 2∠30, et choisissez « Convertir Z₁ » ; le résultat principal s’affiche sous la forme a+bi. Comme a = r cos θ et b = r sin θ, 2∠30° = √3 + i ≈ 1,73205080757 + i.
Comment calculer la puissance d’un nombre complexe avec la formule de Moivre ?
Choisissez « Z₁ⁿ (puissance) » et saisissez l’exposant n. D’après la formule de Moivre zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ), (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠360° = 16 ; les exposants entiers sont exacts et les exposants non entiers, comme 0,5, donnent la valeur principale.
Puis-je écrire j au lieu de i ?
Oui, 3−4j et 3−4i désignent le même nombre. En électricité, on note souvent l’unité imaginaire j pour ne pas la confondre avec l’intensité i.
Pourquoi l’argument de −3 − 4i vaut −126,87° et non 53,13° ?
Parce que l’argument est calculé avec atan2(b, a), qui tient compte du quadrant. −3 − 4i est dans le troisième quadrant, son argument vaut donc environ −126,869897646°, et la calculatrice donne toujours un argument strictement supérieur à −180° et au plus égal à 180°.
Quelle valeur est donnée pour les racines, les logarithmes et les puissances non entières ?
La valeur principale, dont l’argument est strictement supérieur à −180° et au plus égal à 180°. Par exemple, √(−4) = 2i (l’autre racine est −2i) et ln(−1) = πi ≈ 3,14159265359i.
Pourquoi une erreur pour une division par zéro ou ln 0 ?
Parce que la division par 0 + 0i et le logarithme de 0 ne sont pas définis. Aucune puissance de e n’est égale à 0, donc ln 0 n’existe pas, et 0 n’a pas de direction, donc son argument n’est pas défini non plus.