복소수 계산기

a+bi 형태의 복소수를 계산하고 결과를 직교 형식, 극형식, 지수 형식으로 함께 보여주는 무료 복소수 계산기입니다.

사용 방법

Z₁과 Z₂에 3+4i, −2.5i, 5, 3−4j처럼 a+bi 형태로 입력합니다. 허수 단위는 i와 j 모두 되고 대소문자를 가리지 않습니다.
극형식은 5∠53.13처럼 r∠θ로 입력합니다. 각도는 선택한 각도 단위로 읽고, 각도 뒤에 °나 rad를 붙이면 그 단위로 읽습니다(예: 2∠30°, 2∠0.5rad).
계산을 고릅니다. Z₂ 칸은 사칙연산에서만, 지수 n 칸은 거듭제곱에서만 보입니다. 켤레복소수, 제곱근, 역수, e^Z₁, ln Z₁ 같은 함수는 Z₁만 사용합니다.
입력하는 즉시 결과가 바뀝니다. 직교 형식 a+bi와 함께 극형식 r∠θ, 지수 형식 r·e^(iθ), 절댓값, 편각을 유효숫자 12자리까지 보여줍니다.
각도 단위(기본값 도, 또는 라디안)는 편각, 극형식·지수 형식 표시, 입력한 각도에 모두 적용됩니다.

덧셈·뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리 계산합니다: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
곱셈은 전개한 뒤 i² = −1을 씁니다: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
나눗셈은 분모의 켤레복소수 c − di를 분자와 분모에 곱합니다: (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)
절댓값 |z| = r = √(a² + b²), 편각 θ = atan2(b, a)이며 편각은 −180° < θ ≤ 180° 범위로 나타냅니다.
극형식과 지수 형식(오일러 공식): z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ)
드무아브르 공식 zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). 그 밖에 ln z = ln|z| + i·arg z, e^(a + bi) = e^a(cos b + i sin b)입니다.

처음 화면에 들어 있는 Z₁ = 3 + 4i, Z₂ = 1 − 2i로 곱셈과 나눗셈을 직접 따라 해 봅니다.

곱셈 전개: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i²
i² = −1을 넣으면 3 − 2i + 8 = 11 − 2i입니다. 이 결과는 극형식으로 √125∠−10.3048464688° ≈ 11.1803398875∠−10.30°입니다.
나눗셈은 분모의 켤레복소수 1 + 2i를 위아래에 곱합니다. 분자는 (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i, 분모는 (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5입니다.
따라서 (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i입니다.
덧셈과 뺄셈은 더 간단합니다: (3 + 4i) + (1 − 2i) = 4 + 2i, (3 + 4i) − (1 − 2i) = 2 + 6i

3 + 4i의 절댓값: r = √(3² + 4²) = √25 = 5
편각: θ = atan2(4, 3) ≈ 53.1301023542°(0.927295218002 rad)이므로 3 + 4i = 5∠53.13° = 5·e^(i·53.13°)입니다.
반대로 극형식을 직교 형식으로 바꾸면 2∠30° = 2(cos 30° + i sin 30°) = √3 + i ≈ 1.73205080757 + i입니다.
드무아브르 공식: 1 + i = √2∠45°이므로 (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠(8 × 45°) = 16∠360° = 16입니다.
같은 방법으로 (2∠30°)³ = 2³∠90° = 8i, 제곱근은 √(3 + 4i) = 2 + i, √(−4) = 2i입니다.

각도 단위를 확인하세요. 라디안을 고른 상태에서 2∠30은 30°가 아니라 30라디안입니다. 헷갈리면 2∠30°처럼 단위를 붙여 입력합니다.
편각은 단순히 arctan(b/a)가 아닙니다. −3 − 4i는 arctan(4/3) = 53.13°가 아니라 제3사분면의 각인 atan2(−4, −3) ≈ −126.869897646°입니다.
반올림한 각도로 입력하면 결과도 근삿값입니다. 5∠53.13은 정확히 3 + 4i가 아니라 3.00000714566 + 3.99999464074i가 됩니다. 90°의 배수는 정확히 바꿉니다(2∠90 = 2i).
실수부와 허수부는 각각 한 번만 씁니다. 3+4i, 4i+3, 3+j4, 2*i는 되지만 3+4i+2는 읽지 못합니다.
π나 분수는 입력할 수 없으니 3.14159265359, 0.5처럼 소수로 넣습니다. 아주 작은 계산 오차는 0으로 정리하므로 e^(3.14159265359i)는 −1로 나옵니다.
정수 지수(절댓값 1024 이하)는 곱셈을 반복해 정확하게 계산합니다. 예: (3 + 4i)² = −7 + 24i

복소수를 극형식으로 바꾸는 방법은?

Z₁에 복소수를 넣고 'Z₁ 형식 변환'을 고르면 r∠θ와 지수 형식, 절댓값, 편각이 나옵니다. 예를 들어 3 + 4i는 r = √(3² + 4²) = 5, θ ≈ 53.13°이므로 5∠53.13°입니다.

극형식을 a+bi 직교 형식으로 바꾸려면?

Z₁에 2∠30처럼 r∠θ로 입력하고 'Z₁ 형식 변환'을 고르면 결과가 a+bi로 나옵니다. a = r cos θ, b = r sin θ이므로 2∠30° = √3 + i ≈ 1.73205080757 + i입니다.

복소수의 거듭제곱은 어떻게 계산하나요? (드무아브르 정리)

계산에서 'Z₁ⁿ (거듭제곱)'을 고르고 지수 n을 넣으면 됩니다. 드무아브르 공식 zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)에 따라 (1 + i)⁸ = (√2)⁸∠360° = 16이며, 정수 지수는 정확하게, 0.5 같은 실수 지수는 주값으로 계산합니다.

i 대신 j를 써도 되나요?

네, 3−4j와 3−4i를 같은 수로 계산합니다. 전기·전자 공학에서는 전류 기호 i와 헷갈리지 않도록 허수 단위를 j로 쓰는 경우가 많습니다.

−3 − 4i의 편각이 53.13°가 아니라 −126.87°로 나오는 이유는?

편각을 사분면까지 고려하는 atan2(b, a)로 구하기 때문입니다. −3 − 4i는 제3사분면에 있으므로 편각은 약 −126.869897646°이고, 이 계산기는 편각을 항상 −180°보다 크고 180° 이하인 범위로 보여줍니다.

제곱근이나 로그는 어떤 값을 보여주나요?

편각이 −180°보다 크고 180° 이하인 주값을 보여줍니다. 예를 들어 √(−4) = 2i(다른 제곱근은 −2i)이고 ln(−1) = πi ≈ 3.14159265359i입니다.

0으로 나누거나 ln 0을 계산하면 왜 오류가 나나요?

0 + 0i로 나누는 것과 0의 로그는 수학적으로 정의되지 않기 때문입니다. e를 몇 제곱해도 0이 되지 않으므로 ln 0은 없고, 0은 방향이 없어 편각도 정의되지 않습니다.