Mode d’emploi
- Saisissez f(x) avec x comme variable, par exemple x^2 + 3x - sin(x)/2. Les résultats se mettent à jour pendant la saisie.
- Dérivée : indiquez un point x₀ pour obtenir la valeur f(x₀), la dérivée première f′(x₀) et la dérivée seconde f″(x₀).
- Intégrale définie : indiquez la borne inférieure a et la borne supérieure b. Elles acceptent des nombres ou des expressions constantes comme pi/2, ainsi que inf, -inf ou ∞ pour une borne infinie.
- L’intégrale est affichée avec une erreur estimée (±). Si a est plus grand que b, le signe du résultat s’inverse, et si a = b, le résultat vaut 0.
- Les résultats sont des valeurs approchées affichées avec au plus 12 chiffres significatifs. L’outil ne donne pas de formule comme la fonction dérivée ou une primitive.
Comment la dérivée est calculée
La dérivée est la pente de la tangente, définie par f′(x₀) = lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. Un ordinateur ne peut pas faire tendre h vers 0 jusqu’au bout : l’outil utilise donc la différence centrée (f(x₀ + h) − f(x₀ − h))/(2h), qui fait la moyenne des pentes des deux côtés et se révèle bien plus précise qu’une différence d’un seul côté.
La dérivée seconde utilise (f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h))/h². Les deux formules sont évaluées pour des pas h de plus en plus petits, puis combinées par extrapolation de Richardson (méthode de Ridders), qui élimine les principaux termes d’erreur ; l’estimation à l’erreur la plus faible est retenue. Les chiffres situés sous cette erreur sont supprimés, si bien qu’un bruit comme 1e-14 s’affiche 0.
Au préalable, les pentes à gauche et à droite sont comparées. En un point anguleux, comme |x| en x = 0, ou là où la fonction n’existe que d’un côté, comme sqrt(x) en x = 0, la dérivée est affichée « Impossible à calculer ».
Comment l’intégrale définie est calculée
L’intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx est l’aire algébrique comprise entre la courbe et l’axe des abscisses, de a à b : l’aire au-dessus de l’axe compte positivement, celle en dessous négativement.
L’outil utilise la quadrature adaptative de Gauss-Kronrod. Sur chaque sous-intervalle, il évalue f(x) en 15 points choisis et compare une formule de Gauss à 7 points avec la formule de Kronrod à 15 points ; l’écart sert d’estimation de l’erreur. Il coupe en deux le sous-intervalle le plus imprécis jusqu’à ce que l’erreur totale soit de l’ordre de 10⁻¹² fois le résultat (ou de la limite d’arrondi), avec au plus 1000 sous-intervalles.
Les bornes infinies sont traitées par un changement de variable, comme x = a + t/(1 − t), qui ramène l’intervalle infini à un intervalle fini. Les bornes elles-mêmes ne sont jamais évaluées : une fonction qui n’explose qu’en une borne, comme 1/√x de 0 à 1, peut donc être intégrée.
Exemple détaillé pas à pas
Voici les exemples affichés à l’ouverture de la page, calculés à la main.
- Dérivée de x³ en x₀ = 1, étape 1 : avec h = 0,1, la différence centrée vaut (1,1³ − 0,9³)/0,2 = (1,331 − 0,729)/0,2 = 3,01.
- Étape 2 : avec h = 0,05, on obtient (1,157625 − 0,857375)/0,1 = 3,0025. Comme l’erreur diminue comme h², la combinaison (4 × 3,0025 − 3,01)/3 donne exactement 3. C’est le principe de l’extrapolation de Richardson, et on a bien f′(x) = 3x², donc f′(1) = 3.
- Étape 3, dérivée seconde : (1,331 − 2 × 1 + 0,729)/0,1² = 0,06/0,01 = 6, ce qui correspond à f″(x) = 6x en x = 1. L’outil affiche f(1) = 1, f′(1) = 3 et f″(1) = 6.
- Intégrale de x² de 0 à 3 : une primitive est x³/3, donc la valeur exacte est 3³/3 − 0 = 9. L’outil affiche 9 avec une erreur estimée minuscule.
- L’intégration numérique fonctionne aussi sans primitive usuelle : ∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0,746824132812, et l’intégrale de e^(−x²) de −∞ à ∞ vaut √π ≈ 1,77245385091.
Règles de saisie et erreurs fréquentes
- Les fonctions trigonométriques utilisent les radians : sin(30) vaut environ −0,988, et non 0,5. Pour des degrés, multipliez par pi/180 : sin(30pi/180) = 0,5.
- Les fonctions exigent des parenthèses : écrivez sin(x), pas sin x. sin^2(x) signifie (sin x)², et pour l’arc sinus utilisez asin(x), car sin^-1(x) n’est pas accepté.
- e désigne toujours le nombre d’Euler (2,718…) : 1e-6 est donc lu comme 1·e − 6 ≈ −3,28. Écrivez 10^-6 pour 0,000001.
- −x^2 signifie −(x²), 2^3^2 = 2^9 = 512 et 1/2x signifie (1/2)·x. Pour diviser par 2x, écrivez 1/(2x).
- Le signe de multiplication peut être omis, comme dans 2x, 2(x+1) et x sin(x). ln est le logarithme népérien et log le logarithme décimal. Fonctions disponibles : sin, cos, tan, cot, sec, csc, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh, ln, log, log10, log2, sqrt, cbrt, abs ou |x|, exp
Questions fréquentes
L’outil donne-t-il la primitive ou la formule de la dérivée ?
Non, il ne donne que des valeurs numériques. Il calcule la dérivée en un point et l’intégrale définie entre deux bornes, sans produire de formule comme 3x² ou x³/3.
Quelle est la précision des résultats ?
Ils sont généralement justes à 10 chiffres significatifs ou plus et sont affichés avec au plus 12 chiffres. L’intégrale indique aussi une erreur estimée (±), et la précision peut baisser pour des fonctions peu régulières.
Peut-on calculer des intégrales impropres à bornes infinies ?
Oui, saisissez inf, -inf ou ∞ comme borne. Par exemple, l’intégrale de 1/x² de 1 à inf vaut 1, et celle de e^(−x²) de -inf à inf vaut √π ≈ 1,77245385091.
Pourquoi l’outil indique-t-il que l’intégrale peut diverger ou n’a pas convergé ?
Parce que l’aire ne tend pas vers une valeur finie, ou parce que f(x) devient infinie ou non définie dans l’intervalle. Par exemple, ∫₀¹ 1/x dx et l’intégrale de sin(x) de 0 à inf ne convergent pas, alors que ∫₀¹ 1/√x dx = 2 converge.
Pourquoi la dérivée affiche-t-elle « Impossible à calculer » ?
Parce que la dérivée n’existe pas en ce point. C’est le cas en un point anguleux, comme |x| en x = 0, ou là où la fonction n’est définie que d’un côté, comme sqrt(x) en x = 0 ; sans dérivée première, il n’y a pas non plus de dérivée seconde.
Peut-on saisir des angles en degrés ?
Non, les fonctions trigonométriques utilisent toujours les radians. Multipliez les degrés par pi/180, par exemple cos(60pi/180) = 0,5.
Comment écrire une notation scientifique comme 1e-6 ?
Écrivez plutôt 10^-6 ou 0,000001. Ici, la lettre e désigne toujours le nombre d’Euler, donc 1e-6 est lu comme 1·e − 6 ≈ −3,28.