Cómo se usa
- Escribe f(x) con x como variable, por ejemplo x^2 + 3x - sin(x)/2. El resultado se actualiza mientras escribes.
- Derivada: indica un punto x₀ para ver el valor de la función f(x₀), la primera derivada f′(x₀) y la segunda derivada f″(x₀).
- Integral definida: indica el límite inferior a y el superior b. Puedes usar números o expresiones constantes como pi/2, e inf, -inf o ∞ para un límite infinito.
- La integral se muestra con un error estimado (±). Si a es mayor que b, el resultado cambia de signo, y si a = b, el resultado es 0.
- Los resultados son aproximaciones numéricas con hasta 12 cifras significativas. La calculadora no da fórmulas como la función derivada o la primitiva.
Cómo se calcula la derivada
La derivada es la pendiente de la recta tangente y se define como f′(x₀) = lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. Un ordenador no puede llevar h hasta 0, así que la calculadora usa la diferencia central (f(x₀ + h) − f(x₀ − h))/(2h), que promedia las pendientes a ambos lados y es mucho más precisa que una diferencia de un solo lado.
La segunda derivada usa (f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h))/h². Ambas fórmulas se evalúan con pasos h cada vez más pequeños y se combinan mediante la extrapolación de Richardson (método de Ridders), que cancela los términos de error principales; se queda con la estimación de menor error. Las cifras por debajo de ese error se descartan, de modo que un ruido como 1e-14 aparece como 0.
Antes se comparan las pendientes por la izquierda y por la derecha. En un punto anguloso, como |x| en x = 0, o donde la función solo existe por un lado, como sqrt(x) en x = 0, la derivada aparece como «No se puede calcular».
Cómo se calcula la integral definida
La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x desde a hasta b: el área por encima del eje cuenta como positiva y la de abajo como negativa.
La calculadora usa cuadratura adaptativa de Gauss-Kronrod. En cada subintervalo evalúa f(x) en 15 puntos elegidos y compara una regla de Gauss de 7 puntos con la regla de Kronrod de 15 puntos; la diferencia sirve como estimación del error. Divide por la mitad el subintervalo con mayor error hasta que el error total ronda 10⁻¹² veces el resultado (o el límite de redondeo), con un máximo de 1000 subintervalos.
Los límites infinitos se resuelven con un cambio de variable, como x = a + t/(1 − t), que lleva el rango infinito a uno finito. Los extremos nunca se evalúan, así que una función que se dispara solo en un extremo, como 1/√x de 0 a 1, también se puede integrar.
Ejemplo resuelto paso a paso
Estos son los ejemplos con los que se abre la página, resueltos a mano.
- Derivada de x³ en x₀ = 1, paso 1: con h = 0,1 la diferencia central es (1,1³ − 0,9³)/0,2 = (1,331 − 0,729)/0,2 = 3,01.
- Paso 2: con h = 0,05 queda (1,157625 − 0,857375)/0,1 = 3,0025. Como el error disminuye como h², combinar ambos valores como (4 × 3,0025 − 3,01)/3 da exactamente 3. Esa es la idea de la extrapolación de Richardson, y en efecto f′(x) = 3x², así que f′(1) = 3.
- Paso 3, segunda derivada: (1,331 − 2 × 1 + 0,729)/0,1² = 0,06/0,01 = 6, que coincide con f″(x) = 6x en x = 1. La calculadora muestra f(1) = 1, f′(1) = 3 y f″(1) = 6.
- Integral de x² de 0 a 3: la primitiva es x³/3, así que el valor exacto es 3³/3 − 0 = 9. La calculadora muestra 9 junto con un error estimado diminuto.
- La integración numérica funciona aunque no exista una primitiva elemental: ∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0,746824132812, y la integral de e^(−x²) de −∞ a ∞ es √π ≈ 1,77245385091.
Reglas de escritura y errores frecuentes
- Las funciones trigonométricas usan radianes, así que sin(30) vale aproximadamente −0,988, no 0,5. Para grados, multiplica por pi/180: sin(30pi/180) = 0,5.
- Las funciones necesitan paréntesis: escribe sin(x), no sin x. sin^2(x) significa (sin x)², y para el arcoseno usa asin(x), porque sin^-1(x) no se acepta.
- e siempre es el número de Euler (2,718…), por lo que 1e-6 se lee como 1·e − 6 ≈ −3,28. Escribe 10^-6 para 0,000001.
- −x^2 significa −(x²), 2^3^2 = 2^9 = 512 y 1/2x significa (1/2)·x. Para dividir entre 2x, escribe 1/(2x).
- Puedes omitir el signo de multiplicar, como en 2x, 2(x+1) y x sin(x). ln es el logaritmo natural y log, el de base 10. Funciones disponibles: sin, cos, tan, cot, sec, csc, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh, ln, log, log10, log2, sqrt, cbrt, abs o |x|, exp
Preguntas frecuentes
¿La calculadora muestra la primitiva o la fórmula de la derivada?
No, solo da números. Calcula numéricamente la derivada en un punto y la integral definida entre dos límites, sin producir fórmulas como 3x² o x³/3.
¿Qué precisión tienen los resultados?
Normalmente son correctos en 10 o más cifras significativas y se muestran con hasta 12. La integral indica además un error estimado (±), y la precisión puede bajar con funciones que no son suaves.
¿Puede calcular integrales impropias con límites infinitos?
Sí, escribe inf, -inf o ∞ como límite. Por ejemplo, la integral de 1/x² de 1 a inf es 1, y la de e^(−x²) de -inf a inf es √π ≈ 1,77245385091.
¿Por qué dice que la integral puede divergir o que no converge?
Porque el área no se acerca a un valor finito, o porque f(x) se vuelve infinita o no está definida dentro del intervalo. Por ejemplo, ∫₀¹ 1/x dx y la integral de sin(x) de 0 a inf no convergen, mientras que ∫₀¹ 1/√x dx = 2 sí converge.
¿Por qué la derivada aparece como «No se puede calcular»?
Porque la derivada no existe en ese punto. Ocurre en un punto anguloso, como |x| en x = 0, o donde la función solo está definida por un lado, como sqrt(x) en x = 0; sin primera derivada tampoco hay segunda.
¿Puedo introducir ángulos en grados?
No, las funciones trigonométricas siempre usan radianes. Multiplica los grados por pi/180; por ejemplo, cos(60pi/180) = 0,5.
¿Cómo escribo notación científica como 1e-6?
Escribe 10^-6 o 0,000001. Aquí la letra e siempre es el número de Euler, así que 1e-6 se interpreta como 1·e − 6 ≈ −3,28.