حاسبة الانحراف المعياري والإحصاء

طريقة الاستخدام

• اكتب الأرقام أو الصقها مفصولة بفواصل أو مسافات أو فواصل منقوطة أو علامات جدولة أو أسطر جديدة، وتتحدث النتائج أثناء الكتابة. وتُقبل الفاصلة العربية والفاصلة المنقوطة العربية أيضًا.
• يمكنك نسخ عمود أو صف من Excel أو Google Sheets ولصقه مباشرة، ولا يوجد حد لعدد القيم.
• تُقبل الأرقام السالبة (−3) والكسور العشرية بالنقطة (2.5) والصيغة العلمية (1.5e3 = 1500). وإذا كانت إحدى القيم ليست رقمًا، تشير الحاسبة إلى أول قيمة غير صحيحة.
• تُعرض النتائج في ثلاث مجموعات هي مقاييس النزعة المركزية والمدى والربيعات ومقاييس التشتت، وتظهر البيانات مرتبة تصاعديًا أسفل خانة الإدخال.
• تُحسب الأرقام داخل متصفحك فقط، ولا تُحفظ ولا تُرسل إلى أي مكان.

المعادلات

• المتوسط x̄ = Σx ÷ n، أي مجموع القيم مقسومًا على عددها
• الوسيط: القيمة الوسطى في البيانات المرتبة، أو متوسط القيمتين الوسطيين إذا كان n زوجيًا
• المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا. وإذا تساوت عدة قيم في أعلى تكرار تُعرض كلها، وإذا ظهرت كل قيمة مرة واحدة فلا يوجد منوال.
• تباين المجتمع σ² يساوي (Σ(x − x̄)²) ÷ n، والانحراف المعياري للمجتمع σ هو الجذر التربيعي لهذا التباين
• تباين العينة s² يساوي (Σ(x − x̄)²) ÷ (n − 1)، والانحراف المعياري للعينة s هو الجذر التربيعي لهذا التباين
• الربيعات: القيمة في الموضع 1 + (n − 1) × p من البيانات المرتبة، حيث p = 0.25 للربيع الأول Q1 وp = 0.75 للربيع الثالث Q3، مع استيفاء خطي بين القيمتين المتجاورتين كما في QUARTILE.INC في Excel. والمدى الربيعي IQR = Q3 − Q1
• المتوسط الهندسي هو الجذر النوني لحاصل الضرب (x₁ × x₂ × … × xₙ)

مثال خطوة بخطوة: الانحراف المعياري للقيم 70 و80 و90 و85 و75

• الخطوة 1، المتوسط: المجموع 400، و400 ÷ 5 = 80
• الخطوة 2، الانحرافات: اطرح المتوسط من كل قيمة فتحصل على −10 و0 و10 و5 و−5
• الخطوة 3، مجموع مربعات الانحرافات: 100 + 0 + 100 + 25 + 25 = 250
• الخطوة 4، التباين: للمجتمع 250 ÷ 5 = 50، وللعينة 250 ÷ 4 = 62.5
• الخطوة 5، الانحراف المعياري: للمجتمع √50 ≈ 7.071، وللعينة √62.5 ≈ 7.906
• بعد الترتيب تصبح البيانات 70 و75 و80 و85 و90، فالوسيط 80 والربيع الأول هو القيمة الثانية 75 والربيع الثالث هو القيمة الرابعة 85 والمدى الربيعي 10. ولأن كل قيمة تظهر مرة واحدة فلا يوجد منوال.

الفرق بين الانحراف المعياري للمجتمع وللعينة

يقسم الانحراف المعياري للمجتمع مجموع مربعات الانحرافات على n، ويقسمه انحراف العينة على n − 1. استخدم انحراف المجتمع إذا كانت لديك بيانات المجموعة كلها، مثل درجات جميع طلاب فصل واحد، وانحراف العينة إذا كانت بياناتك جزءًا من مجموعة أكبر، مثل المشاركين في استطلاع رأي.

تقيس العينة الانحرافات عن متوسطها هي لا عن المتوسط الحقيقي للمجتمع، لذا فإن القسمة على n تميل إلى تقدير التباين بأقل من قيمته. وتصحح القسمة على n − 1 هذا الميل، وتُسمى تصحيح بيسل، ولهذا تخرج قيمة العينة أكبر قليلًا. ففي بيانات المثال المعروضة عند فتح الصفحة 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 يبلغ الانحراف المعياري للمجتمع 2 وللعينة نحو 2.138.

في Excel يقابل الانحرافَ المعياري للمجتمع وللعينة الدالتان STDEV.P وSTDEV.S، ويقابل التباينين الدالتان VAR.P وVAR.S.

معلومات مفيدة

• توجد عدة طرق لحساب الربيعات. فللبيانات 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 يساوي Q3 هنا 5.5 بطريقة QUARTILE.INC، ويساوي 6.5 بطريقة QUARTILE.EXC، ويساوي 6 إذا أخذت وسيط النصف الأعلى من البيانات.
• لاكتشاف القيم الشاذة ابحث عن القيم الأصغر من Q1 − 1.5 × IQR أو الأكبر من Q3 + 1.5 × IQR. وفي بيانات المثال يكون الحدّان 1.75 و7.75، فتُعد القيمة 9 شاذة وفق هذه القاعدة.
• وحدة التباين هي مربع الوحدة الأصلية، مثل السنتيمتر المربع، أما الانحراف المعياري فبالوحدة الأصلية نفسها، لذا يُقرأ على أنه المسافة المعتادة عن المتوسط.
• إذا أدخلت قيمة واحدة فقط يكون تباين المجتمع وانحرافه المعياري 0، ويظهر تباين العينة وانحرافها بالرمز «—». ولا يُحسب المتوسط الهندسي إلا إذا كانت كل القيم أكبر من 0.
• تُعرض النتائج بما يصل إلى 12 رقمًا معنويًا.