حاسبة التكامل والمشتقة

طريقة الاستخدام

• اكتب f(x) باستخدام x متغيرًا، مثل x^2 + 3x - sin(x)/2. تتحدّث النتيجة أثناء الكتابة.
• المشتقة: أدخل النقطة x₀ لتحصل على قيمة الدالة f(x₀) والمشتقة الأولى f′(x₀) والمشتقة الثانية f″(x₀).
• التكامل المحدد: أدخل الحد الأدنى a والحد الأعلى b. يمكن استخدام أعداد أو تعابير ثابتة مثل pi/2، واستخدم inf أو -inf أو ∞ للحد اللانهائي.
• يظهر التكامل مع خطأ تقديري (±). إذا كان a أكبر من b تنعكس إشارة النتيجة، وإذا كان a = b فالنتيجة 0.
• النتائج قيم تقريبية عددية تُعرض بما يصل إلى 12 رقمًا معنويًا، ولا تعطي الحاسبة صيغًا مثل دالة المشتقة أو الدالة الأصلية.

كيف تُحسب المشتقة

المشتقة هي ميل المماس، وتعريفها f′(x₀) = lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. لا يستطيع الحاسوب أن يجعل h صفرًا تمامًا، لذا تستخدم الحاسبة الفرق المركزي (f(x₀ + h) − f(x₀ − h))/(2h) الذي يأخذ متوسط الميل من الجهتين، وهو أدق كثيرًا من الفرق من جهة واحدة.

تُحسب المشتقة الثانية بالصيغة (f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h))/h². تُحسب الصيغتان بخطوات h تصغر تدريجيًا، ثم تُدمج النتائج باستكمال ريتشاردسون (طريقة Ridders) الذي يحذف حدود الخطأ الرئيسية، ويُختار التقدير ذو الخطأ الأصغر. تُحذف الأرقام الأصغر من هذا الخطأ، فيظهر تشويش مثل 1e-14 على أنه 0.

قبل ذلك يُقارن الميل من اليسار بالميل من اليمين. عند نقطة زاوية مثل |x| عند x = 0، أو حيث تكون الدالة معرّفة من جهة واحدة فقط مثل sqrt(x) عند x = 0، تظهر المشتقة بعبارة «لا يمكن حسابها».

كيف يُحسب التكامل المحدد

التكامل المحدد للدالة f(x) من a إلى b هو المساحة بإشارتها بين المنحنى ومحور x: المساحة فوق المحور موجبة، والمساحة تحته سالبة.

تستخدم الحاسبة تربيع غاوس-كرونرود التكيفي. في كل مجال جزئي تُحسب f(x) عند 15 نقطة مختارة، وتُقارن قاعدة غاوس ذات 7 نقاط بقاعدة كرونرود ذات 15 نقطة، ويُعدّ الفرق بينهما تقديرًا للخطأ. يُقسم المجال الجزئي صاحب الخطأ الأكبر إلى نصفين، ويتكرر ذلك حتى يصبح الخطأ الكلي نحو 10⁻¹² من النتيجة (أو حد التقريب)، بحد أقصى 1000 مجال جزئي.

تُعالج الحدود اللانهائية بتغيير المتغير، مثل x = a + t/(1 − t)، لتحويل المجال اللانهائي إلى مجال محدود. ولا تُحسب الدالة عند طرفي المجال نفسيهما، لذا يمكن تكامل دالة تصبح لانهائية عند طرف فقط، مثل 1/√x من 0 إلى 1.

مثال محلول خطوة بخطوة

هذه هي الأمثلة التي تظهر عند فتح الصفحة، محسوبة يدويًا.

• مشتقة x³ عند x = 1، الخطوة 1: عندما h = 0.1 يكون الفرق المركزي (1.1³ − 0.9³)/0.2 = (1.331 − 0.729)/0.2 = 3.01.
• الخطوة 2: عندما h = 0.05 يكون (1.157625 − 0.857375)/0.1 = 3.0025. ولأن الخطأ يصغر بنسبة h²، فإن دمج القيمتين بالصيغة (4 × 3.0025 − 3.01)/3 يعطي 3 تمامًا. هذه فكرة استكمال ريتشاردسون، وبالفعل f′(x) = 3x² ومن ثم f′(1) = 3.
• الخطوة 3، المشتقة الثانية: (1.331 − 2 × 1 + 0.729)/0.1² = 0.06/0.01 = 6، وهذا يطابق f″(x) = 6x عند x = 1. تعرض الحاسبة f(1) = 1 وf′(1) = 3 وf″(1) = 6.
• تكامل x² من 0 إلى 3: الدالة الأصلية هي x³/3، فالقيمة الدقيقة 3³/3 − 0 = 9، وتعرض الحاسبة 9 مع خطأ تقديري ضئيل جدًا.
• التكامل العددي ينجح حتى دون دالة أصلية بصيغة بسيطة: تكامل e^(−x²) من 0 إلى 1 يساوي تقريبًا 0.746824132812، وتكاملها من −∞ إلى ∞ يساوي √π ≈ 1.77245385091.

قواعد الكتابة والأخطاء الشائعة

• الدوال المثلثية بالراديان، لذا sin(30) يساوي نحو −0.988 وليس 0.5. للدرجات اضرب في pi/180، مثل sin(30pi/180) = 0.5.
• الدوال تحتاج إلى أقواس: اكتب sin(x) لا sin x. التعبير sin^2(x) يعني (sin x)²، ولمعكوس الجيب استخدم asin(x) لأن sin^-1(x) غير مقبول.
• الحرف e يعني دائمًا عدد أويلر (2.718…)، لذا يُقرأ 1e-6 على أنه 1·e − 6 ≈ −3.28. اكتب 10^-6 للعدد 0.000001.
• التعبير −x^2 يعني −(x²)، و2^3^2 = 2^9 = 512، و1/2x يعني (1/2)·x. للقسمة على 2x اكتب 1/(2x).
• يمكن حذف علامة الضرب كما في 2x و2(x+1) وx sin(x). الدالة ln هي اللوغاريتم الطبيعي وlog للأساس 10. الدوال المتاحة: sin، cos، tan، cot، sec، csc، asin، acos، atan، sinh، cosh، tanh، asinh، acosh، atanh، ln، log، log10، log2، sqrt، cbrt، abs أو |x|، exp