미분·적분 계산기

사용 방법

• x를 변수로 f(x)를 입력합니다. 예: x^2 + 3x - sin(x)/2. 입력하는 대로 결과가 바뀝니다.
• 미분: x₀ 값을 넣으면 함숫값 f(x₀), 1계 미분 f′(x₀), 2계 미분 f″(x₀)를 보여 줍니다.
• 정적분: 아래끝 a와 위끝 b를 넣습니다. 숫자 말고도 pi/2 같은 상수식을 쓸 수 있고, 무한대는 inf, -inf 또는 ∞로 씁니다.
• 정적분 결과에는 추정 오차(±)가 함께 나옵니다. a가 b보다 크면 부호가 반대인 값이, a = b이면 0이 나옵니다.
• 결과는 유효숫자 최대 12자리의 수치 근삿값이며, 도함수나 부정적분 같은 식은 보여 주지 않습니다.

미분계수를 구하는 방법

미분계수는 접선의 기울기이고, 정의는 f′(x₀) = lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h입니다. 컴퓨터는 h를 0까지 줄일 수 없으므로 양쪽 기울기를 평균한 중심차분 (f(x₀ + h) − f(x₀ − h))/(2h)를 씁니다. 한쪽만 보는 차분보다 오차가 훨씬 작습니다.

2계 미분은 (f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h))/h²로 구합니다. 두 식 모두 h를 점점 줄이며 여러 번 계산한 뒤 리처드슨 외삽(Ridders 방식)으로 오차 항을 지우고, 추정 오차가 가장 작은 값을 고릅니다. 추정 오차보다 작은 자릿수는 버리므로 1e-14 같은 잡음은 0으로 나옵니다.

계산 전에 왼쪽과 오른쪽 기울기를 비교합니다. |x|의 x = 0처럼 꺾인 점이나 sqrt(x)의 x = 0처럼 한쪽에서만 정의되는 점이면 ‘계산할 수 없음’으로 표시합니다.

정적분을 구하는 방법

정적분 ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 넓이를 부호를 붙여 더한 값입니다. x축 위쪽 넓이는 +, 아래쪽 넓이는 −로 셉니다.

계산에는 적응형 가우스–크론로드 적분을 씁니다. 작은 구간마다 정해진 15개 점에서 f(x)를 계산해 7점 가우스 공식과 15점 크론로드 공식의 결과를 비교하고, 그 차이를 오차로 봅니다. 오차가 가장 큰 구간을 반으로 나누는 일을 오차 합이 결과의 10⁻¹²배 수준(또는 반올림 한계) 이하가 될 때까지, 최대 1000개 구간까지 반복합니다.

무한 구간은 x = a + t/(1 − t)처럼 변수를 바꿔 유한 구간으로 옮긴 뒤 계산합니다. 구간 끝점에서는 함수를 계산하지 않으므로, 0부터 1까지의 1/√x처럼 끝점에서만 무한대가 되는 함수도 적분할 수 있습니다.

단계별 계산 예

페이지를 처음 열 때 들어 있는 예시를 손으로 따라가 봅니다.

• x³의 x₀ = 1에서의 미분 ①: h = 0.1이면 중심차분은 (1.1³ − 0.9³)/0.2 = (1.331 − 0.729)/0.2 = 3.01입니다.
• ② h = 0.05이면 (1.157625 − 0.857375)/0.1 = 3.0025입니다. 오차가 h²에 비례해 줄어드는 성질을 이용해 두 값을 (4 × 3.0025 − 3.01)/3으로 합치면 정확히 3이 됩니다. 이것이 리처드슨 외삽의 원리이며, 실제로 f′(x) = 3x²이므로 f′(1) = 3입니다.
• ③ 2계 미분: (1.331 − 2 × 1 + 0.729)/0.1² = 0.06/0.01 = 6이고, f″(x) = 6x에서 구한 f″(1) = 6과 같습니다. 계산기는 f(1) = 1, f′(1) = 3, f″(1) = 6을 보여 줍니다.
• x²를 0부터 3까지 적분: 부정적분이 x³/3이므로 정확한 값은 3³/3 − 0 = 9이고, 계산기도 9와 아주 작은 추정 오차를 보여 줍니다.
• 부정적분을 식으로 나타낼 수 없는 함수도 수치 적분은 됩니다. ∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0.746824132812이고, e^(−x²)를 −∞부터 ∞까지 적분하면 √π ≈ 1.77245385091입니다.

입력 규칙과 자주 하는 실수

• 삼각함수는 라디안 기준입니다. sin(30)은 0.5가 아니라 약 −0.988입니다. 도(°)로 계산하려면 pi/180을 곱해 sin(30pi/180) = 0.5처럼 씁니다.
• 함수 뒤에는 괄호가 필요합니다. sin x가 아니라 sin(x)로 씁니다. sin^2(x)는 (sin x)²이고, 역함수는 sin^-1(x) 대신 asin(x)로 씁니다.
• e는 항상 자연상수(2.718…)라서 1e-6은 1·e − 6 ≈ −3.28로 읽힙니다. 0.000001은 10^-6으로 씁니다.
• −x^2는 −(x²), 2^3^2는 2^9 = 512, 1/2x는 (1/2)·x입니다. 2x로 나누려면 1/(2x)로 씁니다.
• 곱셈 기호는 2x, 2(x+1), x sin(x)처럼 생략할 수 있습니다. ln은 자연로그, log는 상용로그입니다. 쓸 수 있는 함수: sin, cos, tan, cot, sec, csc, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh, ln, log, log10, log2, sqrt, cbrt, abs 또는 |x|, exp